Géométrie toroïdale et géométrie analytique non archimédienne. Application au type d'homotopie de certains schémas formels

Abstract

Résumé. La géométrie analytique non archimédienne au sens de V. G. Berkovich fournit un cadre naturel pour
formuler les aspects combinatoires de la théorie des variétés toriques et des plongements toroïdaux. Ce point
de vue conduit à une preuve conceptuelle et élémentaire du résultat suivant : si X est un schéma algébrique sur
un corps parfait et si D est le diviseur exceptionnel, à croisements normaux, d’une résolution des singularités
de X, le type d’homotopie du complexe d’incidence de D est un invariant de X. Il s’agit d’une généralisation
d’un théorème de D. Stepanov.

Abstract. V. G. Berkovich’s Non-Archimedean analytic geometry provides a natural framework to understand
the combinatorial aspects in the theory of toric varieties and toroidal embeddings. This point of view leads to a
conceptual and elementary proof of the following result : if X is an algebraic scheme over a perfect field and if
D is the exceptional normal crossing divisor of a resolution of the singularities of X, the homotpy type of the incidence complex of D is an invariant of X. This is a generalization of a theorem due to D. Stepanov.

Zusammenfassung. Für das Verständnis der kombinatorischen Aspekte der Theorie torischer Varietäten und
toroidaler Einbettungen gründet die nicht-archimedische analytische Geometrie des V. G. Berkovichs einen
gerechten Rahmen. Von diesem Standpunkt folgt ein begrifflicher und grundlegender Beweis der folgenden
Aussage. Sei X ein algebraisches Schema über einem perfekten Körper.Wenn D das Sonderdivisor mit normalen
Kreuzungen einer Auflösung seiner Singularitäten ist der Homotopie-Typ des Incidenz-Komplexes von D eine Invariante des Schemas X. Dieses Ergebnis verallgemeinert ein Theorem D. Stepanovs.