At low energies the theory of quantum chromodynamics (QCD) can be described effectively in terms of the lightest particles of the theory, the pions. This approximation is valid for temperatures well below the mass difference of the pions to the next heavier particles.

We study the low-energy effective theory at very small quark masses in a finite volume V. The corresponding perturbative expansion in V^{-1/2} is called epsilon expansion. At each order of this expansion a finite number of low-energy constants completely determine the effective theory. These low-energy constants are of great phenomenological importance.

In the leading order of the epsilon expansion, called epsilon regime, the theory becomes zero-dimensional and is therefore described by random matrix theory (RMT). The dimensionless quantities of RMT are mapped to dimensionful quantities of the low-energy effective theory using the leading-order low-energy constants Sigma and F. In this way Sigma and F can be obtained from lattice QCD simulations in the epsilon regime by a fit to RMT predictions.

For typical volumes of state-of-the-art lattice QCD simulations, finite-volume corrections to the RMT prediction cannot be neglected. These corrections can be calculated in higher orders of the epsilon expansion. We calculate the finite-volume corrections to Sigma and F at next-to-next-to-leading order in the epsilon expansion. We also discuss non-universal modifications of the theory due to the finite volume. These results are then applied to lattice QCD simulations, and we extract Sigma and F from eigenvalue correlation functions of the Dirac operator.

As a side result, we provide a proof of equivalence between the parametrization of the partially quenched low-energy effective theory without singlet particle and that of the super-Riemannian manifold used earlier in the literature. Furthermore, we calculate a special version of the massless sunset diagram at finite volume without constant mode which was not known before.

Apart from the universal regime of QCD, random matrix models can be used as schematic models that describe certain features of QCD such as the chiral phase transition. These schematic models are defined at fixed topological charge instead of fixed vacuum angle. Therefore special care has to be taken when different topological sectors are combined. We classify different schematic random matrix models in terms of the topological domain of Dirac eigenvalues, i.e., the part of eigenvalues that is affected by topology. If the topological domain extends beyond the microscopic eigenvalues, additional normalization factors need to be included to allow for finite topological fluctuations. This is important since the mass of the pseudoscalar singlet particle eta' is related to topological
fluctuations, and the normalization factors thus solve the corresponding U(1)_A problem.

Bei niedrigen Energien kann die Theorie der Quantenchromodynamik (QCD) effektiv durch die leichtesten Teilchen der Theorie, die Pionen, beschrieben werden. Diese Näherung ist für Temperaturen deutlich unter der Massendifferenz der Pionen zu den nächst schwereren Teilchen gültig.

Wir untersuchen die effektive Niedrigenergietheorie bei kleinen Quarkmassen in einem endlichen Volumen V. Die entsprechende Störungsentwicklung in V^{-1/2} wird epsilon-Entwicklung genannt. In jeder Ordnung dieser Entwicklung bestimmen eine endliche Anzahl von Niedrigenergiekonstanten die Theorie vollständig. Diese Niedrigenergiekonstanten sind von großer phänomenologischer Bedeutung.

Zur führenden Ordnung in der epsilon-Entwicklung, auch epsilon-Region genannt, ist die Theorie nulldimensional und wird daher durch Zufallsmatrixtheorie (RMT) beschrieben. Die dimensionslosen Größen der RMT werden zu den dimensionsbehafteten Größen der effektiven Niedrigenergietheorie mittels der führenden Niedrigenergiekonstanten Sigma und F in Beziehung gesetzt. Dadurch können Sigma und F aus Simulationen der Gitter-QCD in der epsilon-Region durch einen Fit an Vorhersagen der RMT gewonnen werden.

Für typische Volumen in hochmodernen Simulationen der Gitter-QCD können Korrekturen der RMT-Vorhersagen durch das endliche Volumen nicht vernachlässigt werden. Diese Korrekturen können in höheren Ordnungen der epsilon-Entwicklung berechnet werden. Wir berechnen die Korrekturen zu Sigma und F durch das endliche Volumen zu NNLO in der epsilon-Entwicklung. Des Weiteren erörtern wir nicht-universelle Modifikationen der Theorie durch das endliche Volumen. Diese Ergebnisse werden auf Simulationen der Gitter-QCD angewandt, wobei wir Sigma und F aus Eigenwertkorrelatoren des Dirac Operators bestimmen.

Als Nebenergebnis beweisen wir die Äquivalenz einer Parametrisierung der partially quenched effektiven Niedrigenergietheorie ohne singlet Teilchen und der Parametrisierung der super-Riemannschen Mannigfaltigkeit, welche häufig in der Literatur verwendet wird. Überdies berechnen wir eine spezielle Form des masselosen Sunset Diagramms in endlichem Volumen ohne konstante Mode, welche bisher noch unbekannt war.

Abgesehen von der universellen Region der QCD können Zufallsmatrix-Modelle auch als schematische Modelle verwendet werden um bestimmte Eigenschaften der QCD, wie den chiralen Phasenübergang, zu beschreiben. Diese schematischen Modelle sind bei fester topologischer Ladung an Stelle von festem Vakuumwinkel definiert. Dies muss beachtet werden wenn verschiedenen topologische Sektoren kombiniert werden. Wir klassifizieren verschiedene schematische Zufallsmatrix-Modelle bezüglich der topologischen Domäne der Dirac Eigenwerte, d.h., dem Bereiche der Eigenwerte der von der Topologie abhängig ist. Wenn sich die topologische Domäne über die mikroskopische Domäne der Eigenwerte hinaus erstreckt, werden zusätzliche Normierungsfaktoren benötigt um endliche topologische Fluktuationen zu ermöglichen. Diese Fluktuationen sind wichtig, da die Masse des pseudoskalaren singlet Teilchens eta' in Beziehung zu den topologischen Fluktuationen steht und die Normierungsfaktoren daher das entsprechende U(1)_A Problem lösen.