In this Thesis we explain the relatively large splitting in intrinsic graphene by using tight-binding method. We include the relevant , , and orbitals and obtain the orbital couplings necessary to account for the splitting by fitting the tight-binding model to first-principles alculations. Our formula for the intrinsic splitting shows that while the contribution from the spin-orbit coupling of the orbitals increases with increasing lattice constant (decreasing hopping energy), the contribution from the orbitals decreases. This predicted trend is well confirmed by first-principles calculations. By increasing artificially the lattice constant increases the splitting decreases first, demonstrating the dominance of the orbitals. After reaching a minimum the splitting increases, being dominated by the spin-orbit coupling of the orbitals. We also present explicit formulas for the extrinsic splitting, showing here that the contributions from the orbitals are negligible.
We have found that the physical mechanism for intrinsic spin-orbit coupling in bilayer graphene and other few-layer graphenes is alike in single graphene sheet and in addition manifesting in the band splitting of the same order. The symmetry of the few-layer graphenes structures is reflected in the inter-layer hopping, which consequently influences the shape of the bands around the K points. The neighboring inter-layer hopping repels corresponding bands away the Fermi-energy leading to so-called high-energy bands. The low-energy bands at the Fermi energy involve intrinsic spin-orbit coupling splitting as in graphene that are of the same order of 24 micro eV. The splitting is significantly suppressed if the orbitals
are excluded from the calculations. This coincidence with the spin-orbit coupling induced band gap in the single-layer graphene implies that the spin-orbit coupling effects in few-layer graphenes and graphite have the same physical origin.

.In dieser Dissertation erläutern wir die relativ große Aufspaltung im intrinsischen Graphen unter Verwendung der Tight-Binding-Methode. Wir berücksichtigen dabei die relevanten , und -Orbitale und die Werte der entsprechende Spinbahnkopplungskonstanten wurde so angepasst, dass die Bandaufspaltungen im Tight-Binding-Modell der Ergebnisse der sogenannten „first-principles“ Berechnungen übereinstimmen. Unsere Formel für die Spin-Bahn-Aufspaltung zeigt, dass während der Beitrag der Spin-Bahn-Kopplung der -Orbitale mit zunehmender Gitterkonstante (abnehmende Bindungsenergie) steigt, nimmt der Beitrag der -Orbitale ab. Dieser prognostizierte Trend ist auch durch die „first-principles“ Berechnungen bestätigt. Durch die künstliche Erhöhung der Gitterkonstante ist die Abnahme der Aufspaltungsgröße die erste Demonstration der Dominanz des -Orbitale. Nach Erreichen eines Minimums nimmt die Spaltung zu und wird durch die Spin-Bahn-Kopplung der -Orbitale dominiert. Wir präsentieren auch explizite Formeln für die extrinsische Spinaufspaltung der Energiebänder und zeigen, dass die Beiträge der -Orbitale vernachlässigbar sind.

Wir haben festgestellt, dass der physikalischer Mechanismus für die intrinsische Spin-Bahn-Kopplung im doppel- und mehrschichtigen Graphen ist der Gleiche wie im üblichen Graphen und zusätzlich manifestiert sich in der Bandaufspaltung der gleichen Größenordnung. Die Symmetrie des mehrschichtigen Graphens spiegelt sich in Wechselwirkung zwischen den einzelnen Schichten wieder, die folglich einen direkten Einfluss auf die Form des Pi-Bänder rund um die K Punkte. Die direkte Wechselwirkung abstößt die entsprechenden Pi-Bänder ab und entfernt sie somit vom dem Fermienergieniveau weg. Solche Bänder nennen wir Hochenergiebänder. Die übrigen Niedrigenergiebänder am Ferminiveau haben eine Energielücke am K-Punkt aufgrund der intrinsischen Spinbahnkopplung in der gleichen Größenordnung von 24 Mikro eV sind. Die Energielücke ist verschwindet fast, wenn die -Orbitale aus den Berechnungen ausgeschlossen werden. Diese Übereinstimmung mit der durch die Spinbahnkopplung induzierten Bandlücke im einschichtigen Graphen impliziert, dass die Spinbahnkopplungseffekte in einschichten und mehrschichtigen Graphen und sogar Graphit den gleichen physikalischen Ursprung haben.