Cahn-Hilliard-Brinkman models for tumour growth: Modelling, analysis and optimal control

URN to cite this document:: urn:nbn:de:bvb:355-epub-433763
DOI to cite this document:: 10.5283/epub.43376

Ebenbeck, Matthias

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Date of publication of this fulltext: 22 Jun 2020 09:12

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Phase field models recently gained a lot of interest in the context of tumour growth models. In this work we study several diffuse interface models for tumour growth in a bounded domain with sufficiently smooth boundary. The basic model consists of a Cahn–Hilliard type equation for the
concentration of tumour cells coupled to a convection-reaction-diffusion-type equation for an unknown species acting as a nutrient and a Brinkman-type equation for the velocity. The system is equipped with Neumann boundary conditions for the phase field and the chemical potential,
a Robin-type boundary condition for the nutrient and a “no-friction” boundary condition for the velocity which allows us to consider solution dependent source terms.
We derive the model from basic thermodynamic principles, conservation laws for mass and momentum and constitutive assumptions. Using the method of formal matched asymptotics, we relate our diffuse interface model with free boundary problems for tumour growth that have
been studied earlier.
For the basic model, we show the existence of weak solutions under suitable assumptions on the source terms and the potential by using a Galerkin method, energy estimates and compactness arguments. If the velocity satisfies a no-slip boundary condition and is divergence free, we can
establish the existence of weak solutions for degenerate mobilities and singular potentials.
From a modelling point of view, it seems to be more appropriate to describe the nutrient evolution by a so-called quasi-static equation of reaction-diffusion type. For this model we establish existence of both weak and strong solutions for regular potentials and a continuous
dependence result yields the uniqueness of weak solutions and thus the model is well-posed.
These results build the basis to study an optimal control problem where the control acts as a cytotoxic drug. Moreover, we rigorously prove the zero viscosity limit in two and three space dimensions which allows us to relate the Cahn–Hilliard–Brinkman model with Cahn–Hilliard–Darcy models which have been studied earlier.
Finally, we also analyse the model with quasi-static nutrients and classical singular potentials like the logarithmic and double-obstacle potential which enforce the phase field to stay in the physical relevant range. Under suitable assumptions on the source terms, we can establish the
existence of weak solutions for these kinds of potentials.

Translation of the abstract (German)

Phasenfeldmodelle stießen in jüngster Zeit auf großes Interesse im Zusammenhang mit Tumorwachstumsmodellen.
In dieser Arbeit untersuchen wir mehrere diffuse Grenzschichtmodelle für Tumorwachstum in einem beschränkten Gebiet mit ausreichend glattem Rand. Das Ausgangsmodell besteht aus einer Cahn-Hilliard-Gleichung für die Konzentration von Tumorzellen gekoppelt mit einer Konvektions-Reaktions-Diffusions-Gleichung für eine unbekannte Spezies, die als Nährstoff dient, und einer Brinkman-Gleichung für die Geschwindigkeit. Wir vervollständigen das System mit Neumann-Randbedingungen für das Phasenfeld und das chemische Potential,
einer Robin-Randbedingung für den Nährstoff und einer reibungsfreien Randbedingung für die Geschwindigkeit, die es uns ermöglicht, lösungsabhängige Quellterme zu berücksichtigen.
Wir leiten das Modell aus thermodynamischen Grundprinzipien, Erhaltungssätzen für Masse und Impuls und konstitutiven Annahmen her. Mithilfe von formaler asymptotischer Analysis setzen wir unser diffuses Grenzschichtmodell mit zuvor untersuchten freien Randwertproblemen für Tumorwachstum in Verbindung.
Für das Ausgangsmodell zeigen wir die Existenz von schwachen Lösungen unter geeigneten Annahmen an die Quellterme und das Potenzial unter Verwendung einer Galerkin-Methode, Energieabschätzungen und Kompaktheitsargumenten. Falls die Geschwindigkeit eine Haftbedingung am Rand erfüllt und divergenzfrei ist, können wir die Existenz schwacher Lösungen für degenerierte Mobilitäten und singuläre Potentiale nachweisen.
Aus Modellierungssicht erscheint es realistischer, die Nährstoffentwicklung durch eine sogenannte
quasi-statische Reaktions-Diffusions-Gleichung zu beschreiben. Für dieses Modell zeigen wir, dass sowohl schwache als auch starke Lösungen für reguläre Potenziale existieren und diese Lösungen stetig von den Anfangswerten abhängen. Daraus folgt die Eindeutigkeit schwacher Lösungen, sodass das Modell wohlgestellt ist. Diese Ergebnisse bilden die Grundlage für die Untersuchung
eines Optimalsteuerungsproblems, bei dem die Kontrolle als cytotoxisches Medikament wirkt.
Darüber hinaus beweisen wir rigoros den Grenzwert der verschwindenden Viskositäten in zwei und drei Raumdimensionen, wodurch wir das Cahn–Hilliard–Brinkman-Modell mit zuvor untersuchten Cahn–Hilliard–Darcy-Modellen in Beziehung setzen können.
Schließlich analysieren wir das Modell auch mit quasi-statischen Nährstoffen und klassischen singulären Potentialen wie dem logarithmischen und dem Doppelhindernispotential, die garantieren, dass das Phasenfeld im physikalisch relevanten Bereich bleibt. Unter geeigneten Annahmen an die Quellterme zeigen wir die Existenz von schwachen Lösungen für diese Art von Potenzialen.

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