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- URN to cite this document:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-596301
- DOI to cite this document:
- 10.5283/epub.59630
| Item type: | Thesis of the University of Regensburg (PhD) | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Open Access Type: | Primary Publication | ||||||||||||
| Date: | 18 November 2024 | ||||||||||||
| Referee: | Prof. Dr. Harald Garcke and Prof. Dr. Endre Süli | ||||||||||||
| Date of exam: | 18 October 2024 | ||||||||||||
| Institutions: | Mathematics > Prof. Dr. Harald Garcke | ||||||||||||
| Interdisciplinary Subject Network: | Not selected | ||||||||||||
| Research groups and research centres: | Not selected | ||||||||||||
| Related URLs: |
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| Classification: |
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| Keywords: | Cahn--Hilliard; tumour growth; viscoelasticity; Oldroyd-B; finite element method; numerical analysis; diffuse-interface; sharp interface | ||||||||||||
| Dewey Decimal Classification: | 500 Science > 510 Mathematics | ||||||||||||
| Status: | Published | ||||||||||||
| Refereed: | Yes, this version has been refereed | ||||||||||||
| Created at the University of Regensburg: | Yes | ||||||||||||
| Item ID: | 59630 |
Abstract (English)
This thesis presents a comprehensive study on the mathematical modelling and numerical analysis of nonlinear systems of partial differential equations in the context of tumour growth. In the first part of this thesis, we focus on two-phase systems where two different materials, such as tumour cells and healthy cells, are separated by a diffuse interface. First, a general viscoelastic model is ...
Abstract (English)
This thesis presents a comprehensive study on the mathematical modelling and numerical analysis of nonlinear systems of partial differential equations in the context of tumour growth.
In the first part of this thesis, we focus on two-phase systems where two different materials, such as tumour cells and healthy cells, are separated by a diffuse interface. First, a general viscoelastic model is derived using thermodynamic principles, balance laws of mass and momentum, and constitutive assumptions. We explore several variants and limit cases of the general model and highlight connections to related models in the literature.
Subsequently, we develop an existence theory of weak solutions for two specific cases. The first analysis focusses on a viscoelastic Cahn--Hilliard model for tumour growth, which includes equations for tumour cells surrounded by healthy tissue. This model also considers equations for a chemical species serving as a nutrient for the tumour. The system is coupled with the Navier--Stokes equations and the Oldroyd-B model for viscoelastic effects. Using a fully discrete finite element scheme, we prove the existence of global-in-time weak solutions in two dimensions.
The second analysis examines a variant of the tumour model with a quasi-static description for velocity and nutrients, which is more realistic from a modelling perspective. Again, we use a Cahn--Hilliard equation with source terms for tumour cells surrounded by healthy cells. This time, a different viscoelastic approach is employed, which can be seen as a generalized Oldroyd-B model. The main result is the existence of weak solutions in two and three dimensions, achieved through numerical approximation using the finite element method.
We then present numerical results for both models, including solution strategies and simulations in two and three dimensions. These results demonstrate the practicality of the numerical schemes and discuss the influence of various model parameters.
In the second part of this thesis, we investigate sharp interface models, where a free-moving boundary now separates the two different materials. The relationship between diffuse interface models from the first part of the thesis and their corresponding sharp interface limits is studied using the method of formally matched asymptotics.
Finally, we focus on the numerical analysis of a specific sharp interface model with viscoelasticity, where growth terms are not considered. This model describes the flow of two different viscoelastic fluids. We employ an unfitted finite element method to approximate a parameterization of the free-moving boundary, achieving very good geometric properties. We conclude with numerical simulations in two dimensions.
Translation of the abstract (German)
In dieser Dissertation untersuchen wir verschiedene Aspekte der mathematischen Modellierung und numerischen Analysis nichtlinearer Systeme von partiellen Differentialgleichungen im Kontext von Tumorwachstum. Im ersten Teil dieser Dissertation konzentrieren wir uns auf Zwei-Phasen-Systeme, in denen zwei verschiedene Materialien, wie Tumorzellen und gesunde Zellen, durch eine diffuse ...
Translation of the abstract (German)
In dieser Dissertation untersuchen wir verschiedene Aspekte der mathematischen Modellierung und numerischen Analysis nichtlinearer Systeme von partiellen Differentialgleichungen im Kontext von Tumorwachstum.
Im ersten Teil dieser Dissertation konzentrieren wir uns auf Zwei-Phasen-Systeme, in denen zwei verschiedene Materialien, wie Tumorzellen und gesunde Zellen, durch eine diffuse Grenzschicht getrennt sind. Zunächst wird ein allgemeines viskoelastisches Modell unter Verwendung thermodynamischer Prinzipien, Massen- und Impulserhaltungsgesetze sowie konstitutiver Annahmen hergeleitet. Wir untersuchen mehrere Varianten und Grenzfälle des allgemeinen Modells und stellen Relationen zu verwandten Modellen in der Literatur her.
Anschließend entwickeln wir eine Existenztheorie schwacher Lösungen für zwei spezifische Modelle. Im ersten Fall konzentrieren wir uns auf ein viskoelastisches Cahn--Hilliard Modell für Tumorwachstum, das Gleichungen für Tumorgewebe umfasst, das von gesundem Gewebe umgeben ist.
Dieses Modell beinhaltet auch Gleichungen für eine chemische Spezies, die als Nährstoff für den Tumor dient. Das System ist mit den Navier--Stokes Gleichungen und dem viskoelastischen Oldroyd-B Modell gekoppelt. Mit Hilfe der finiten Elemente Methode und einer geeigneten Approximationsstategie beweisen wir die Existenz schwacher Lösungen in zwei Dimensionen.
Im zweiten Fall untersuchen wir eine Variante des Tumormodells mit einer quasi-statischen Beschreibung für Geschwindigkeit und Nährstoffe, was aus der Perspektive der Modellierung sinnvoller erscheint. Auch hier verwenden wir eine Cahn--Hilliard Gleichung mit Quelltermen für den Tumor, der von gesundem Gewebe umgeben ist. Wir verwenden nun ein anderes viskoelastisches Modell, das als ein verallgemeinertes Oldroyd-B-Modell betrachtet werden kann. Unser Hauptresultat ist die Existenz schwacher Lösungen in zwei und drei Dimensionen, was durch geeignete Approximationstechniken mit Hilfe der finiten Elemente Methode bewiesen wird.
Anschließend präsentieren wir numerische Ergebnisse für beide Modelle. Wir stellen Lösungstechniken für die numerischen Systeme vor und diskutieren den Einfluss verschiedener Modellparameter mit Hilfe von Simulationen in zwei und drei Dimensionen.
Im zweiten Teil dieser Dissertation liegt der Fokus auf scharfen Grenzschichtmodellen, bei denen eine frei bewegliche Grenzschicht nun die beiden verschiedenen Materialien trennt.
Wir untersuchen die Relationen zwischen diffusen Grenzschichtmodellen aus dem ersten Teil der Dissertation und ihren entsprechenden Grenzfällen mit scharfer Grenzschicht.
Hierfür wird die Methode der formalen asymptotischen Analysis verwendet.
Abschließend konzentrieren wir uns auf die numerische Analysis eines speziellen freien Randwertproblems mit Viskoelastizität, bei dem Wachstumsterme nicht betrachtet werden.
Dieses Modell beschreibt den Fluss von zwei verschiedenen viskoelastischen Fluiden.
Wir verwenden eine spezielle finite Elemente Methode, um eine Parametrisierung der frei beweglichen Grenzschicht numerisch zu beschreiben. Dieser Ansatz garantiert sehr gute geometrische Eigenschaften. Zum Schluss stellen wir einige numerische Simulationen in zwei Dimensionen vor.
Metadata last modified: 18 Nov 2024 09:37
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