Semiclassics beyond the diagonal approximation

Abstract (English)

The statistical properties of the energy spectrum of classically chaotic closed quantum systems are the central subject of this thesis. It has been conjectured by O.Bohigas, M.-J.Giannoni and C.Schmit that the spectral statistics of chaotic systems is universal and can be described by random-matrix theory. This conjecture has been confirmed in many experiments and numerical studies but a formal ...

Abstract (English)

The statistical properties of the energy spectrum of classically chaotic closed quantum systems are the central subject of this thesis. It has been conjectured by O.Bohigas, M.-J.Giannoni and C.Schmit that the spectral statistics of chaotic systems is universal and can be described by random-matrix theory.
This conjecture has been confirmed in many experiments and numerical studies but a formal proof is still lacking. In this thesis we present a semiclassical evaluation of the spectral form factor which goes beyond M.V.Berry's diagonal approximation. To this end we extend a method developed by M.Sieber and K.Richter for a specific system: the motion of a particle on a two-dimensional
surface of constant negative curvature. In particular we prove that these semiclassical methods reproduce the random-matrix theory predictions for the next to leading order correction also for a much wider class of systems, namely non-uniformly hyperbolic systems with f>2 degrees of freedom. We achieve
this result by extending the configuration-space approach of M.Sieber and K.Richter to a canonically invariant phase-space approach.

Translation of the abstract (German)

Das zentrale Thema dieser Arbeit sind die statistischen Eigenschaften des Energiespektrums geschlossener Quantensysteme deren klassische Analoga durch chaotische Dynamik gekennzeichnet sind. Für diese Systeme stellten O.Bohigas, M.-J.Giannoni und C.Schmit die Vermutung auf, daß die spektrale Statistik universell ist und den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie folgt. Diese Vermutung wurde bereits ...

Translation of the abstract (German)

Das zentrale Thema dieser Arbeit sind die statistischen Eigenschaften des Energiespektrums geschlossener Quantensysteme deren klassische Analoga durch chaotische Dynamik gekennzeichnet sind. Für diese Systeme
stellten O.Bohigas, M.-J.Giannoni und C.Schmit die Vermutung auf, daß die spektrale Statistik universell ist und den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie folgt. Diese Vermutung wurde bereits durch eine Vielzahl von Experimenten
und numerischen Untersuchungen bestätigt, ein formaler Beweis konnte bisher jedoch nicht gefunden werden. In dieser Arbeit wird der spektrale Formfaktor
auf der Grundlage semiklassischer Methoden berechnet, die über M.V.Berry's Diagonalnäherung hinaus gehen. Die Grundlage dafür stellt die Erweiterung
einer Methode von M.Sieber und K.Richter dar, welche für die Bewegung eines Teilchens auf einer zweidimensionalen Fläche konstanter negativer Krümmung entwickelt wurde. Insbesondere wird in der vorliegenden Arbeit gezeigt, daß die Anwendung dieser semiklassischen Methoden auf die viel größere Klasse nicht-uniformer hyperbolischer Systeme mit beliebiger Anzahl von
Freiheitsgraden ebenfalls die Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie reproduziert. Zu diesem Zweck wird eine kanonisch invariante Phasenraummethode entwickelt,
welche den Ortsraumzugang von M.Sieber und K.Richter erweitert.

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