The statistical description of irregular eigenfunctions: A semiclassical approach

Abstract (English)

We present a novel approach to study the statistical properties of eigenfunctions in quantum systems with chaotic classical counterpart. The method is based on a far reaching generalization of an old suggestion, made by Berry in 1977, saying that irregular eigenfunctions can be described as Gaussian-distributed random functions. The so-called Gaussian conjecture is supplemented with a well ...

Abstract (English)

We present a novel approach to study the statistical properties of eigenfunctions in quantum systems with chaotic classical counterpart. The method is based on a far reaching generalization of an old suggestion, made by Berry in 1977, saying that irregular eigenfunctions can be described as Gaussian-distributed random functions.

The so-called Gaussian conjecture is supplemented with a well controlled approximation for the two-point spatial correlation function, the only microscopic input of the theory. The method employed to construct the correlation function makes use of the semiclassical expression for the quantum propagator in terms of classical trajectories due to Gutzwiller.

After a short introduction, we present analytic and numerical evidence supporting the validity of the Gaussian conjecture and the power of the semiclassical two-point correlation function. We also discuss their experimental support and limitations.

As a formal application of the resulting local Gaussian theory, we derive the results of two competing approaches, the so-called Random Wave and Ballistic Sigma models. Our conclusion is that, to date, the local Gaussian theory is the most general framework to describe the statistical properties of irregular eigenfunctions in clean (non-disordered) systems.

Finally, we apply our ideas to the description of Coulomb Blockade conductance peaks in almost close quantum dots. We extend previous approaches and give a closed general expression for the average conductance. Our results are valid for any kind of confining potential and boundary conditions and are expressed in terms of universal coefficients and sums over classical trajectories.

Translation of the abstract (German)

In der vorliegenden Arbeit präsentieren wir eine neuartige Methode zur Untersuchung der statistischen Eigenschaften von Eigenfunktionen in Quantensystemen mit chaotischer, klassischer Beschreibung. Die Methode basiert auf einer weitreichenden Verallgemeinerung einer klassischen Idee von Berry, die besagt, dass irreguläre Eigenfunktionen mittels Gauss-verteilten Zufallsfunktionen beschrieben ...

Translation of the abstract (German)

In der vorliegenden Arbeit präsentieren wir eine neuartige Methode zur Untersuchung der statistischen Eigenschaften von Eigenfunktionen in Quantensystemen mit chaotischer, klassischer Beschreibung. Die Methode basiert auf einer weitreichenden Verallgemeinerung einer klassischen Idee von Berry, die besagt, dass irreguläre Eigenfunktionen mittels Gauss-verteilten Zufallsfunktionen beschrieben werden können.

Diese sogenannte Gauss-Vermutung wird durch eine wohldefinierte Näherung für die Zwei-Punkt-Orts-Korrelationsfunktion ergänzt, die den einzigen mikroskopischen Input der Theorie darstellt. Für die Herleitung der Korrelationsfunktion verwendet die Methode den semiklassischen Ausdruck für den Quantenpropagator im Sinne von klassischen Trajektorien laut Gutzwiller.

Nach einer kurzen Einleitung präsentieren wir analytische und numerische Belege, die die Gültigkeit der Gauss-Vermutung und die Stärke der klassischen Zwei-Punkt-Korrelationsfunktion unterstützen. Ebenso werden experimentelle Belege für die Gültigkeit und die Grenzen der beiden Bestandteile der Theorie diskutiert.

In formalen Anwendungen der resultierenden lokalen Gauss-Theorie reproduzieren wir Ergebnisse zweier konkurrierender Methoden, des sogenannten Random-Wave- und des ballistischen Sigma-Modells, die Grenzfälle unserer Theorie darstellen. Unsere Schlussfolgerung ist, dass die lokale Gauss-Theorie den zur Zeit allgemeinsten Rahmen zur Beschreibung der statistischen Eigenschaften von irregulären Eigenfunktionen in sauberen (nicht-ungeordneten) Systemen darstellt.

Schließlich wenden wir unsere Ideen auf die Beschreibung von Leitfähigkeits-Peaks bei der Coulomb-Blockade in fast geschlossenen Quanten-Punkten an. Hiefür erweitern wir bisherige Methoden und geben einen geschlossenen, allgemeinen Ausdruck in Form von universalen Koeffizienten und Summen über klassische Trajekorien für die mittlere Leitfähigkeit an, der für beliebige, begrenzende Potenziale und Randbedingungen gültig ist.

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