In the first part of this work, we study quark spectra at either non-zero temperature or chemical potential. In the first case, we find a possible explanation for the Anderson localization that is observed in the spectrum. We introduce a random matrix model that has the same localization and shares other important properties of the QCD Dirac operator, too. In the case of a non-vanishing chemical potential, we show that the eigenvalue spacing distributions of the Dirac operator are described by simple random matrix models. In the second part of this work, we study supersymmetry on the lattice. We summarize our progress with the blocking approach and show possible problems. Furthermore, we contruct a lattice action which is improved with respect to supersymmetry and study this action numerically.

Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Quarkspektren bei nicht verschwindender Temperatur oder chemischem Potential. Im ersten Fall finden wir eine mögliche Erklärung für die Anderson Lokalisierung, die im Spektrum beobachtet wird. Wir stellen ein Zufallsmatrixmodell vor, das diese Lokalisierung ebenfalls aufweist und auch andere wichtige Eigenschaften mit dem QCD Dirac Operator teilt. Im Fall des nicht verschwindenden chemischen Potentials zeigen wir, dass die Abstandsverteilung der Eigenwerte des Dirac operators von einfachen Zufallsmatrixmodellen beschrieben werden. Im zweiten Teil der Arbeit befassen wir uns mit Supersymmetrie auf dem Gitter. Wir fassen unseren Fortschritt mit dem Blocking Ansatz zusammen und zeigen mögliche Probleme auf. Weiterhin konstruieren wir eine Gitterwirkung, welche in Bezug auf die Supersymmetrie verbessert ist, und untersuchen diese numerisch.