In this thesis we consider a geometrically nonlinear model of crystal elastoplasticity with one active slip system in dimension two. We use a time-discretization of the corresponding evolution problem and are interested in the variation problem of one single time step, which is not necessarily the first. Thereby we assume that the crystal initially has no defects such that the self-energy of the crystal is equal to the core energy of the dislocations. To compute this energy a description of the dislocations in the continuous setting, namely the geometrical dislocation tensor, is needed. There are several different tensors appearing in the literature. The most famous ones are compared in this thesis or in references therein. The core energy can be expressed by a small parameter delta times a term depending on the curl of the plastic part of the deformation and thus depending on derivatives of an internal slip variable. Thus one has to solve a variation problem depending on the deformation and the internal variable, where they depend on each other. This is one of the main difficulties of the problem. We assume that the elastic energy density penalizes elastic deformations, which are not rotations, by a factor one over epsilon and thus obtain the model of rigid elasticity for vanishing epsilon. We want to know if this model can be well approximated, for vanishing delta and epsilon, by the model without self-energy and which is additionally based on the assumptions of rigid elasticity. An answer to this question is already known for the first time step, where we do not have a self-energy part. In this case the answer depends on the fact if one includes hardening or not. If not, then the relaxed energy density vanishes for a large class of applied loads. We show that this is no more true for an other time step. Beyond that we prove some lower and upper scaling relations for the energy using a branching construction and a proof by contradiction, respectively. For a more simple model we show a lower relation that fits together with the upper relation given by the branching construction.
In the case of linear hardening, it was shown for the first time step that the model of rigid elasticity without self-energy is a good approximation. If we choose the self-energy parameter delta small in comparison to epsilon this is also true for another time step, which was confirmed by a partially Gamma-convergence result.

In dieser Doktorarbeit betrachten wir ein geometrisch nichtlineares zweidimensionales Modell aus der Kristall-Elastoplastizität mit einem aktiven Gleitsystem. Wir betrachten eine Zeitdiskretisierung des zugehörigen Variationsproblems und untersuchen das Variationsproblem eines einzelnen Zeitschritts. Dabei nehmen wir an, dass der Kristall anfangs keine Defekte besitzt so dass die Selbstenergie des Kristalls mit der Kernenergie der Versetzungen übereinstimmt. Um diese Energie zu berechnen wird eine Beschreibung des geometrischen Versetzungstensors benötigt. In der Literatur findet man unterschiedliche Beschreibungen dieses Tensors. Die bekanntesten werden in dieser Arbeit verglichen oder es wird auf weiterführende Referenzen verwiesen.
Die Kernenergie kann durch einen kleinen Parameter delta mal der Rotation des plastischen Anteils der Deformation beschrieben werden und hängt damit von der Ableitung einer inneren Gleitvariablen ab. Damit muss man ein Variationsproblem lösen, welches von der Deformation und einer inneren Variable abhängt und diese hängen voneinander ab. Dies ist eine der Schwierigkeiten in dieser Arbeit.
Wir nehmen an, dass die elastische Energiedichte Deformationen, welche keine Rotationen sind, durch einen Faktor eins durch epsilon bestraft. Damit erhalten wir das Modell starrer Elastizität im Grenzwert epsilon gegen null. Wir untersuchen nun ob unser Modell gut durch das Modell ohne Selbstenergie, welches zusätzlich auf starrer Elastizität beruht, approximiert werden kann. Die Antwort auf diese Frage ist für den ersten Zeitschritt, d.h. für den Fall ohne Selbstenergie, bekannt. In diesem Fall hängt die Antwort davon ab ob man den Effekt des "Härtens" berücksichtigt oder nicht. Falls nicht, dann verschwindet die relaxierte Energiedichte für eine große Klasse angelegter Kräfte. Wir zeigen, dass dies nicht mehr gültig ist für einen anderen Zeitschritt. Dabei beweisen wir untere und obere Skalierungsrelationen für die Energie mit Hilfe einer "branching"-Konstruktion und einem Beweis durch Widerspruch. Für ein vereinfachtes Modell konnten wir zeigen, dass die untere mit der oberen Skalierungsrelation übereinstimmt. Im Fall lineraren "Härtens" wurde für den ersten Zeitschritt gezeigt, dass das Modell starrer Elastizität ohne Selbstenergie eine gute Approximation ist. Falls der Parameter delta vor der Selbstenergie klein im Vergleich zu epsilon gewählt wird stimmt dies auch für einen anderen Zeitschritt. Dies wurde mit Hilfe eines Gamma-Konvergenzresultats bewiesen.