Heights of Toric Varieties

Abstract (English)

We show that the toric local height of a toric variety with respect to a toric semipositive metrized line bundle over an arbitrary non-Archimedean field can be written as the integral over a polytope of a concave function. For discrete non-Archimedean fields, this was proved by Burgos-Philippon–Sombra (BPS). To show this statement, we first prove an induction formula for the non-Archimedean local ...

Abstract (English)

We show that the toric local height of a toric variety with respect to a toric semipositive metrized line bundle over an arbitrary non-Archimedean field can be written as the integral over a polytope of a concave function. For discrete non-Archimedean fields, this was proved by Burgos-Philippon–Sombra (BPS). To show this statement, we first prove an induction formula for the non-Archimedean local height of a variety, generalizing a theorem of Chambert-Loir and Thuillier. Then, in analogy to (BPS), we translate arithmetic-geometric objects like toric divisors over arbitrary valuation rings of rank one and toric semipositive metrics over non-discrete non-Archimedean fields, in terms of convex analysis like piecewise affine and concave functions.
Furthermore, we prove that the global height of a variety over a finitely generated field can be expressed as an integral of local heights over a set of places of this field. In contrast to a similar statement of (BPS), it allows arbitrary non-Archimedean places. Combining this expression with our results on toric geometry, we get an interesting formula for the global height. This formula will be illustrated in a final natural example where not all relevant non-Archimedean places are discrete.

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Wir zeigen, dass die torische lokale Höhe einer torischen Varietät bezüglich eines torisch semipositiv metrisierten Geradenbündels über einem beliebigen nicht-archimedischen Körper als ein Integral einer konkaven Funktion über einem Polytop ausgedrückt werden kann. Für diskrete nicht-archimedische Körper wurde dies von Burgos-Philippon-Sombra (BPS) bewiesen. Um dieses Resultat zu zeigen, wird ...

Translation of the abstract (German)

Wir zeigen, dass die torische lokale Höhe einer torischen Varietät bezüglich eines torisch semipositiv metrisierten Geradenbündels über einem beliebigen nicht-archimedischen Körper als ein Integral einer konkaven Funktion über einem Polytop ausgedrückt werden kann. Für diskrete nicht-archimedische Körper wurde dies von Burgos-Philippon-Sombra (BPS) bewiesen. Um dieses Resultat zu zeigen, wird zunächst eine Induktionsformel für eine nicht-archimedische lokale Höhe einer Varietät bewiesen, indem ein Theorem von Chambert-Loir und Thuillier verallgemeinert wird. Analog zu (BPS) übersetzen wir danach arithmetisch-geometrische Objekte, wie torische Divisoren über beliebigen Bewertungsringen vom Rang 1 und torische semipositive Metriken über nicht-diskreten nicht-archimedischen Körpern, in Begriffe der konvexen Analysis, wie stückweise affine und konkave Funktionen.
Außerdem zeigen wir, dass die globale Höhe einer Varietät über einem endlich erzeugten Körper als ein Integral von lokalen Höhen über einer Menge von Stellen auf diesem Körper ausgedrückt werden kann. Im Gegensatz zu einem ähnlichen Resultat von (BPS) erlauben wir beliebige nicht-archimedische Stellen. Indem wir diese Formel mit unseren torischen Resultaten verknüpfen, erhalten wir eine interessante Formel für die globale Höhe. Diese Formel wird schließlich an einem natürlichen Beispiel illustriert, wo nicht alle relevanten nicht-archimedischen Stellen diskret sind.

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