Homogenization of Layered Materials with Stiff Components

URN to cite this document:: urn:nbn:de:bvb:355-epub-376974
DOI to cite this document:: 10.5283/epub.37697

Christowiak, Fabian

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Dissertation Fabian Christowiak
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Date of publication of this fulltext: 10 Sep 2018 08:53

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Abstract (English)

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In the context of homogenization of elastoplastic materials, we study the effects of a stiff component on the macroscopic behavior of a material of fine layered structure. To model these materials a variational approach is chosen in accordance to the assumptions of finite elasticity.

In view of the macroscopic material response, the elasticity of the individual thin layer stands in contrast to the stiffness of the components, leading to the question of optimal scaling relations between layer thickness and stiffness. We answer this question by identifying two regimes. For sufficiently strong stiffness, we provide a new type of asymptotic rigidity theorem, which enables us to give a full characterization of the rather restricted class of macroscopic material responses. In particular, we show that in two dimensions, if volume is preserved locally, this class comprises only globally rotated shear deformations. In contrast, we illustrate
with explicit examples that for small elastic constants bending and wrinkling of layers leads to much broader possibilities for deformations.

This characterization result allows to determine homogenization formulas for a manifold of variational models for finite elastoplastic materials via Gamma-convergence. In this work, we provide two homogenization results, one for elastic materials and one in the context of crystal plasticity.

Firstly, assuming that the elastic softer layers are described by an energy density whose polyconvex envelope coincides with its quasiconvex envelope, we establish an explicit homogenization formula and discuss its relations to cell and multicell formulas.

Secondly, we consider a stiff material in two dimensions with one active slip system in every other layer. Here, the homogenization formula strongly depends on the orientation of the slip system. In particular, the intuition that a slip system orthogonal to the stiff layers should be blocked, while for a parallel orientation it should be unhindered, is rigorously confirmed. Due to the distinct differential inclusion constraints imposed on different layers on admissible deformations, the proof requires tailor-made recovery sequences for which we give explicit constructions.

While the above homogenization results both concern periodic layered materials, we also give a homogenization result for randomly layered material featuring totally rigid layers and one active slip system in every other layer.

Translation of the abstract (German)

Im Rahmen der Homogenisierung elastoplastischer Materialien untersuchen wir das makroskopische Verhalten von Schichtmaterialien mit steifen Komponenten. Für die Modellierung des Materials wählen wir einen variationellen Zugang, der mit den Annahmen finiter Elastizität
verträglich ist.

Im Hinblick auf das makroskopische Materialverhalten steht die leichte Verformbarkeit einzelner dünner Schichten der Steifheit des Materials gegenüber, was die Frage des optimalen Skalierungsverhältnisses zwischen Schichtdicke und Steifheit aufwirft. Die Antwort unterscheidet zwei Skalierungsregime. Für ausreichende Materialsteifheit zeigen wir ein neuartiges asymptotisches Rigiditätsresultat, das die relativ eingeschränkten Möglichkeiten der Materialverformung vollständig charakterisiert. Insbesondere zeigt sich, dass unter der Annahme
lokaler Volumenerhaltung in zwei Dimensionen lediglich globale Scherdeformationen möglich sind. Dagegen belegen wir anhand konkreter Beispiele, dass bei kleinen elastischen Konstanten Biege- und Wrinkling-Effekte weit mehr Materialverformungen erlauben.

Mit Hilfe dieser Charakterisierung können Homogenisierungsformeln für eine große Zahl variationeller Modelle elastoplastischer Materialien durch Gamma-Konvergenz bestimmt werden. In diesem Werk wird dies für zwei Materialmodelle, eines für rein elastische Schichtmaterialien
und eines im Kontext der Kristallplastizität, gezeigt.

Für Materialmodelle, in denen die weichen Schichten durch eine elastische Energiedichte mit übereinstimmender poly- und quasikonvexer Einhüllenden beschrieben werden, geben wir eine explizite Homogenisierungsformel an und erläutern deren Beziehung zu klassischen Zell- und Multizellformeln.

Des Weiteren betrachten wir ein steifes Schichtmaterial in zwei Dimensionen, mit einem aktiven Gleitsystem in den weichen Schichten. In diesem Fall wird die Homogenisierungsformel stark von der Orientierung des Gleitsystems beeinflusst. Insbesondere bestätigen die Ergebnisse
die Erwartung, dass ein senkrecht zur den steifen Schichten orientiertes Gleitsystem von diesen blockiert wird, während eine Scherung entlang der steifen Schichten unbeeinflusst bleibt.

Nach den beiden periodischen Homogenisierungsresultaten betrachten wir abschließend noch ein Material mit zufälliger Schichtdicke, dessen steife Komponente vollkommen rigide ist, sich in jeder zweiten Schicht jedoch entlang eines aktiven Gleitsystems plastisch verformen
lässt.

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