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- URN zum Zitieren dieses Dokuments:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-383760
- DOI zum Zitieren dieses Dokuments:
- 10.5283/epub.38376
| Dokumentenart: | Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation) |
|---|---|
| Open Access Art: | Primärpublikation |
| Datum: | 21 Februar 2019 |
| Begutachter (Erstgutachter): | Prof. Dr. Harald Garcke |
| Tag der Prüfung: | 20 Dezember 2018 |
| Institutionen: | Mathematik > Prof. Dr. Harald Garcke |
| Stichwörter / Keywords: | surface diffusion flow, tripel junction cluster, short time existence, stability of equilibria, Lojasiewicz-Simon inequality |
| Dewey-Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik |
| Status: | Veröffentlicht |
| Begutachtet: | Ja, diese Version wurde begutachtet |
| An der Universität Regensburg entstanden: | Ja |
| Dokumenten-ID: | 38376 |
Zusammenfassung (Englisch)
We study the evolution of double bubbles driven by the surface diffusion flow. At the triple junction we use boundary conditions derived by Garcke and Novick-Cohen in the case of curves. These are concurrency of the triple junction, Young’s law, that fixes the angles at which the three surfaces meet, continuity conditions for the chemical potentials and balance of flux conditions. Garcke and ...
Zusammenfassung (Englisch)
We study the evolution of double bubbles driven by the surface diffusion flow. At the triple junction we use boundary conditions derived by Garcke and Novick-Cohen in the case of curves. These are concurrency of the triple junction, Young’s law, that fixes the angles at which the three surfaces
meet, continuity conditions for the chemical potentials and balance of flux conditions. Garcke
and Novick-Cohen also showed short time existence in a H¨older setting and Arab proved stability
of planar double bubbles moving due to surface diffusion flow. In this work, we generalize these results
to arbitrary space dimensions. Hereby, we will first apply our techniques to closed hypersurfaces to
illustrate them. The results for this situations were already proven by Escher, Mayer and Simonett but with different methods.
For the short time existence result we consider reference triple junction clusters for which each hypersurface
is a submanifold of R^{n+1} of regularity C^{5+}. We then show that for triple junction clusters
that can be described as graphs over the reference frame with a combination of a height function
sufficiently small in the C^{4+} and a tangential part, which is given as function in the height
function, there exists a solution in the parabolic H¨older space C^{4+,1+
/4}. To prove this we reduce the
problem via direct mapping to a fourth order, parabolic partial differential equation on the reference
frame. Hereby, the tangential part will contribute non-local terms of highest order. We then linearise
the problem around the reference cluster and firstly consider only the highest order terms. For the
reduced system we show existence of weak solutions with a Galerkin approach. Afterwards, we localize
the equations both around points in the interior of the hypersurfaces and on the triple junction. For
this problem we get well-posedness in a C^{4+,1+
/4}-setting using classical results from Ladyzenskaja,
Solonnikov and Uralceva. With compactness arguments we then identify the weak solution
locally as limit of solutions of the localized problem and thus get this regularity for the weak
solutions. Using perturbation techniques we conclude this result also for the complete linear problem.
Finally, we get our existence result for the non-linear problem using a contraction mapping argument
where technical difficulties arise due to the non-local tangential part and the fully non-linear angle
conditions. Uniqueness of solutions remains an open problem.
In the second part of the work we show that if the reference surface is a stationary double bubble then
there is a > 0 such that for all initial data with C^{4+
}-norm less than
the solution constructed
above exists globally in time and converges to another stationary double bubble. This is done by
verifying a Lojasiewicz-Simon gradient inequality for the surface area. During this the non-local tangential
part causes crucial problems and has to be replaced by a local one. The proof of the gradient
inequality itself uses then the results of Chill. Afterwards, we need to show
parabolic regularization of the flow using the parameter trick to get bounds in the C^{k,0}-norm for
arbitrary large k. With this the proof of stability can be carried out applying standard arguments.
Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)
Wir betrachten Doppel-Blasen, die durch den Oberflächendiffusionsfluss evolviert werden. Auf der Tripellinie verwenden wir die Randbedingungen, die von Garcke und Novick-Cohen im Kurvenfall hergeleitet wurden. Dabei handelt es sich um die Erhaltung der Tripellinie, das Youngsche Gesetz, welches die Winkel, in denen die drei Flächen auf einander treffen, festlegt, Stetigkeitsbedingungen für ...
Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)
Wir betrachten Doppel-Blasen, die durch den Oberflächendiffusionsfluss evolviert werden. Auf der
Tripellinie verwenden wir die Randbedingungen, die von Garcke und Novick-Cohen im Kurvenfall
hergeleitet wurden. Dabei handelt es sich um die Erhaltung der Tripellinie, das Youngsche
Gesetz, welches die Winkel, in denen die drei Flächen auf einander treffen, festlegt, Stetigkeitsbedingungen
für die chemischen Potentiale und die Gleichheit der Ableitungen der mittleren Krümmungen
in Richtung der äußeren Konormalen. Garcke und Novick-Cohen zeigten außerdem Kurzeitexistenz
in Hölderräumen und Arab bewies Stabilität planarer Doppel-Blasen, die sich auf Grund
von Oberflächendiffusion bewegen. In unserer Arbeit verallgemeinern wir diese Resultate auf
beliebige Raumdimensionen. Wir wenden unsere Methoden zuerst auf geschlossene Oberflächen an, um deren Funktionsweise zu erklären. Die Aussagen wurden für diesen Fall von Escher, Mayer und
Simonett mit anderen Techniken gezeigt.
Für die Kurzeitexistenz betrachten wir Referenzcluster, bei denen jede einzelne Oberfläche eine Untermannigfaltigkeit
des R^{n+1} mit Regularität C^{5+} ist. Wir zeigen, dass für alle Triplelinien-Cluster,
die sich mittels einer Höhenfunktion, die klein genug in der C^{4+}-Norm ist, und eines Tangentialteils,
der als Funktion in der Höhenfunktion gegeben ist, als Graph über dem Referenzcluster schreiben
lassen, eine Lösung in dem parabolischen Hölderraum C^{4+,1+
/4} existiert. Für den Beweis reduzieren
wir das Problem zu einer skalaren, parabolischen, partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung auf
dem Referenzcluster. Dabei liefert der Tangentialteil nichtlokale Terme höchster Ordnung. Danach
linearisieren wir die Gleichungen im Referenzcluster und betrachten anfangs nur die Terme höchster
Ordnung. Für dieses Problem zeigen wir die Existenz schwacher Lösungen mit einem Galerkinansatz.
Danach lokalisieren wir das Problem sowohl um Punkte im Inneren der Flächen als auch um Punkte
auf der Tripellinie. Für die Lokalisierung erhalten wir Wohlgestelltheit in C^{4+,1+
/4} durch Anwendung
der Resultate von Ladyschenskaja, Solonnikov und Uralceva. Mit einem Kompaktheitsargument
identifizieren wir die schwache Lösung lokal als Grenzwert von Lösungen des lokalisierten
Problems und erhalten damit auch C^{4+,1+
/4}-Regularität für die schwache Lösung. Durch ein
Störungsargument folgern wir hieraus das gleiche Resultate auch für das komplette linearisierte Problem.
Schließlich erhalten wir das Existenzresultat für das nichtlineare Problem mittels des Banachschen
Fixpunktsatzes. Hierbei entstehen technische Schwierigkeiten durch den nichtlokalen Tangentialteil
und die voll-nichtlinearen Winkelbedingungen. Eindeutigkeit für die Lösung des geometrischen
Flusses bleibt ein offenes Problem.
Im zweiten Teil der Arbeit zeigen wir, dass es für Referenzcluster, die stationäre Doppel-Blasen
sind, ein >0 gibt, sodass für alle Anfangsdaten mit einer C^{4+
}-Norm kleiner oder gleich
die
gefundene Lösung global in der Zeit existiert und gegen eine andere stationäre Doppel-Blase konvergiert.
Hierbei nutzen wir einen Ansatz mit einer Lojasiewicz-Simon Gradientenungleichung für
die Oberflächenenergie. Bei deren Beweis entpuppt sich der nichtlokale Tangentialteil als kritisches
Problem, weshalb er durch einen lokalen ersetzt werden muss. Die Ungleichung selbst kann dann mit
den Resultaten von Chill, siehe [13, Corollary 3.11], gezeigt werden. Danach muss parabolische Regularisierung
des Flusses mit Hilfe des Parametertricks gezeigt werden, um Schranken in der C^{k,0}-Norm
für beliebig große k zu zeigen. Mit diesen ist die Stabilitätsanalyse mit Standardargumenten möglich.
Metadaten zuletzt geändert: 25 Nov 2020 18:34
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