Coupled Evolution Equations for Immersions of Closed Manifolds and Vector Fields - University of Regensburg Publication Server

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Date:	26 April 2019
Referee:	Prof. Dr. Georg Dolzmann
Date of exam:	13 February 2019
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Georg Dolzmann
Projects:	Deutsche Forschungsgemeinschaft, Graduiertenkolleg 1692 “Curvature, Cycles, and Cohomology”
Keywords:	Helfrich, geometric flow, biomembranes, coupled evolution, director fields, short time existence, well posednesss, stability
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	40098

Abstract (English)

A possible description of the elastic energy of a biological membrane is given by the L 2 -distance of its mean curvature from a spontaneous curvature plus a topological constant. Such energy functional is often referred to as Helfrich energy. We study a generalization of this model, where the spontaneous curvature arises as the divergence of a vector field along the surface. An abstract ...

Abstract (English)

A possible description of the elastic energy of a biological membrane is given by the L 2 -distance
of its mean curvature from a spontaneous curvature plus a topological constant. Such energy
functional is often referred to as Helfrich energy.
We study a generalization of this model, where the spontaneous curvature arises as the
divergence of a vector field along the surface. An abstract formulation for immersions of
manifolds of arbitrary dimension is derived.
For plane curves we prove for this energy functional the existence of global minimizers and
regularity of stationary points subject to different constraints. The constraints we considered
are the length and enclosed signed area of the curve and the range of the vector field.
Furthermore, we derive a gradient-flow equation in the general situation of immersions of
manifolds of arbitrary space dimension which leads to a coupled system of partial differential
equations. For this coupled system we show local well-posedness even for a constraint preserving
adaption of the flow.
Moreover, we show a Łojasiewicz-Simon gradient inequality for the unrestricted functional
as well as in the presence of constraints. From this we draw conclusions about the asymptotic
behavior of the flow close to a local minimizer.
For curves and vector fields in the euclidean plane we introduce a geometric quantity whose
smallness guarantees smoothness of the flow. By a rescaling argument we achieve that even
finiteness of this quantity suffices to exclude the formation of singularities.

Translation of the abstract (German)

Eine mögliche Beschreibung der elastischen Energie einer Biomembran ist durch den L 2 -Abstand der mittleren Krümmung von einer spontanen Krümmung plus einer topologischen Konstante gegeben. Ein solches Energiefunktional wird oft als Helfrich Energie bezeichnet. Wir untersuchen eine Erweiterung dieser Modellierung, bei der die spontane Krümmung durch die Oberflächendivergenz eines ...

Translation of the abstract (German)

Eine mögliche Beschreibung der elastischen Energie einer Biomembran ist durch den L 2 -Abstand
der mittleren Krümmung von einer spontanen Krümmung plus einer topologischen Konstante
gegeben. Ein solches Energiefunktional wird oft als Helfrich Energie bezeichnet.
Wir untersuchen eine Erweiterung dieser Modellierung, bei der die spontane Krümmung
durch die Oberflächendivergenz eines Vektorfeldes entlang der Fläche gegeben ist. Eine abstrakte
Formulierung für Immersionen von Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension wird hergeleitet.
Für Kurven in der euklidischen Ebene zeigen wir für dieses Funktional Existenz von globalen
Minimierern und Regularität von stationären Punkten unter den verschiedenen Nebenbedingun-
gen. Mögliche Nebenbedingungen sind die Länge der Kurve, der von der Kurve eingeschlossenen
Flächeninhalt und der Bildbereich des Vektorfeldes.
Außerdem leiten wir für Immersionen von Mannigfaltigkeiten beliebiger Raumdimension eine
Gradientenflussdynamik her, die auf ein gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen
führt. Für dieses gekoppelte System zeigen wir lokale Wohlgestelltheit auch im Fall, dass der
Fluss die Nebenbedingungen erhält.
Weiterhin zeigen wir für das uneingeschränkte Funktional sowie unter Berücksichtigung
der Nebenbedingungen eine Łojasiewicz-Simon Gradientenungleichung, aus welcher man dann
Rückschlüsse auf das asymptotische Verhalten des Flusses nahe lokaler Minimierer ziehen kann.
Für Kurven und Vektorfelder in der Ebene geben wir eine geometrische Größe an, deren
Kleinheit Glattheit des Flusses garantiert. Durch Reskalieren erreichen wir, dass es bereits
ausreicht, dass diese Größe endlich ist, um Singularitäten auszuschließen.

Coupled Evolution Equations for Immersions of Closed Manifolds
and Vector Fields

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Translation of the abstract (German)

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