Semiclassical Treatment of Interference Phenomena in Bosonic Quantum Many-Body Systems

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Abstract (English)

A major goal of the semiclassical theory is to understand and treat a quantum system in the regime of large quantum numbers using information from its classical limit. In this framework, quantum phenomena are addressed through a path integral perspective, i.e. the weighted interference of phases accumulated along classical trajectories. While this formalism has been successful in explaining ...

Abstract (English)

A major goal of the semiclassical theory is to understand and treat a quantum system in the regime of large quantum numbers using information from its classical limit. In this framework, quantum phenomena are addressed through a path integral perspective, i.e. the weighted interference of phases accumulated along classical trajectories. While this formalism has been successful in explaining interference phenomena, for instance, in mesoscopic single-particle quantum systems, the recent extension of the semiclassical theory allows now also the treatment of interacting quantum many-body systems.
This thesis aims to contribute to these ongoing efforts to apply semiclassical techniques to quantum many-body systems. It is focused on bosonic quantum many-body systems, where the thermodynamic limit of a large number of particles represents an alternative version of a semiclassical limit. Within the derivation of the corresponding semiclassical theory, mean-field equations, i.e. effective nonlinear wave equations describing the matter wave, re-emerge as Hamilton's equations of motion of an abstract Hamilton function, defining the above thermodynamic limit as the classical limit.
Within this thesis, two different topics are studied. The first one deals with the so-called “Out-of-Time-Order Correlator” (OTOC), the expectation value of the squared commutator of two local operators at different times. The OTOC provides a direct probe for the presence of chaos in the classical limit (if any) of a quantum many-body system. This is based on that for short times the OTOC directly relates to the stability of classical solutions upon changes in their initial conditions. One of the defining properties of chaos is that this stability displays an exponential growth, with the rate called the classical Lyapunov exponent. Immediately, this implies an exponential growth of the OTOC for short times, from which the Lyapunov exponent can be extracted. For later times, one observes a saturation of the OTOC as a consequence of unitary quantum time evolution. The Ehrenfest time, the time scale which marks the onset of quantum interference, separates these different dynamical behaviors. In this thesis a thorough understanding of the concept of chaos in the classical limit of quantum many-body systems is provided, and with that the underlying interference mechanisms involved in the early exponential growth and the later saturation of OTOCs are identified. It is found that the pre-Ehrenfest time exponential growth is given through the interference of multiple contributions, all of them essentially following only a single solution of mean-field equations. Conversely the post-Ehrenfest time behavior stems from the contributions of fundamentally different mean-field solutions, which display correlated dynamics only for a limited amount of time, of the order of Ehrenfest time.
The second topic covered in this thesis deals with the coherent transport of cold bosonic atoms through an Aharonov-Bohm ring structure. This setup consists of two semi-infinite wave guides attached on the opposite sides of a wave guide ring which is pierced by a synthetic gauge field. Within the ring, the atoms are further subject to both a weak disorder potential and particle-particle interaction. In the non-interacting case, the disorder-averaged transmission probability as a function of the encircled flux displays the well-known Al'tshuler-Aronov-Spivak (AAS) oscillations, i.e. oscillations with a frequency twice as large as Aharonov-Bohm oscillations. This thesis provides further insight into the influence of a weak particle-particle interaction on AAS oscillations, for which numerical results predict an interaction-based inversion of peaks. Here, using semiclassical techniques to solve the corresponding mean-field problem, this inversion is successfully reproduced, and a first indicator of the relevant mechanism leading to the inversion is found through contributions of self-averaging scattering path constellations.

Translation of the abstract (German)

Ein Hauptziel der semiklassischen Theorie ist es, ein Quantensystem im Regime großer Quantenzahlen mittels Informationen aus dessen klassischen Limes zu verstehen und zu behandeln. Hierbei werden Quantenphänomene aus der Perspektive von Pfadintegralen betrachtet, d.h. durch die gewichtete Interferenz von Phasen, die sich entlang klassischer Trajektorien angesammelt haben. Während dieser ...

Translation of the abstract (German)

Ein Hauptziel der semiklassischen Theorie ist es, ein Quantensystem im Regime großer Quantenzahlen mittels Informationen aus dessen klassischen Limes zu verstehen und zu behandeln. Hierbei werden Quantenphänomene aus der Perspektive von Pfadintegralen betrachtet, d.h. durch die gewichtete Interferenz von Phasen, die sich entlang klassischer Trajektorien angesammelt haben. Während dieser Formalismus bereits erfolgreich Interferenzphänomene z.B. in mesoskopischen quantenmechanischen Einteilchensystemen erklärt hat, erlaubt die jüngste Erweiterung der semiklassischen Theorie nun auch die Behandlung von Systemen vieler wechselwirkender quantenmechanischer Teilchen.
Diese Dissertation leistet einen weiteren Beitrag zu den laufenden Bemühungen in der Anwendung von semiklassischen Techniken auf quantenmechanische Vielteilchensysteme. Es konzentriert sich hierbei auf bosonische Vielteilchensysteme, für die der thermodynamische Limes einer großen Anzahl von Teilchen eine alternative Version eines semiklassischen Limes darstellt. Innerhalb der Herleitung der entsprechenden semiklassischen Theorie treten die "mean-field" Gleichungen, d.h. effektive nichtlineare Wellengleichungen, die die Materiewelle beschreiben, als Hamiltonsche Bewegungsgleichungen einer abstrakten Hamiltonfunktion in Erscheinung und identifizieren dadurch den obigen thermodynamischen Limes als klassischen Limes.
Im Rahmen dieser Arbeit werden zwei verschiedene Themen behandelt. Das erste befasst sich mit dem sogenannten "Out-of-Time-Order-Correlator" (OTOC), dem Erwartungswert des quadrierten Kommutators von zwei lokalen Operatoren zu unterschiedlichen Zeiten. Der OTOC stellt ein Instrument zum direkten Nachweis für das Vorhandensein von Chaos im klassischen Limes (falls vorhanden) eines quantenmechanischen Vielteilchensystems dar. Dies beruht darauf, dass für kurze Zeiten der OTOC direkt im Zusammenhang mit der Stabilität klassischer Lösungen gegenüber Änderungen ihrer Ausgangsbedingungen steht. Eine der definierenden Eigenschaften von Chaos ist, dass diese Stabilität ein exponentielles Wachstum zeigt, wobei die Rate als klassischer Lyapunov-Exponent bezeichnet wird. Dies impliziert unmittelbar ein exponentielles Wachstum des OTOC für kurze Zeiten, aus dem der Lyapunov-Exponent extrahiert werden kann. Für spätere Zeiten wird eine Sättigung des OTOC als Folge der unitären Zeitentwicklung in der Quantentheorie beobachtet. Die Ehrenfestzeit, die Zeitskala, die den Beginn quantenmechanischer Interferenz markiert, trennt diese verschiedenen dynamischen Verhaltensweisen zeitlich voneinander. In dieser Arbeit wird ein tiefgehendes Verständnis des Konzepts von Chaos im klassischen Limes quantenmechanischer Vielteilchensysteme vermittelt und damit die zugrunde liegenden Interferenzmechanismen identifiziert, welche für das frühe exponentielle Wachstum und die spätere Saturierung von OTOCs verantwortlich sind. Hierbei ergibt sich, dass das exponentielle Wachstum vor der Ehrenfestzeit durch die Interferenz mehrerer Beiträge gegeben ist, die im Wesentlichen nahe einer einzigen Lösung der "mean-field" Gleichung sind. Umgekehrt ergibt sich das zeitliche Verhalten nach der Ehrenfestzeit aus den Beiträgen grundlegend unterschiedlicher "mean-field" Lösungen, die nur für eine begrenzte Zeit, in der Größenordnung der Ehrenfestzeit, eine korrelierte Dynamik aufweisen.
Das zweite Thema dieser Arbeit beschäftigt sich mit dem kohärenten Transport von kalten bosonischen Atomen durch eine Aharonov-Bohm Ringstruktur. Diese Anordnung besteht aus zwei halbunendlichen Wellenleitern, die an gegenüberliegenden Seiten eines Wellenleiterrings angebracht sind, der von einem synthetischen Eichfeld durchdrungen wird. Innerhalb des Rings sind die Atome zudem sowohl einem schwachen Unordnungspotential als auch der Wechselwirkung untereinander ausgesetzt. Im nicht-wechselwirkenden Fall zeigt die über mehrere Unordnungspotentiale gemittelte Transmissionswahrscheinlichkeit als Funktion des eingeschlossenen Flusses die bekannten Al'tshuler-Aronov-Spivak (AAS)-Oszillationen, d.h. Oszillationen mit einer Frequenz, die doppelt so groß ist wie die von Aharonov-Bohm Oszillationen. Diese Arbeit gibt weitere Einblicke in den Einfluss einer schwachen Teilchen-Teilchen Wechselwirkung auf die AAS-Oszillationen, für die numerische Ergebnisse eine wechselwirkungsbasierte Inversion der Maxima vorhersagen. Hier wird diese Inversion unter Benutzung semiklassischer Techniken zur Lösung des entsprechenden „mean-field“ Problem erfolgreich reproduziert und ein erster Indikator für den relevanten Mechanismus, der zur Inversion führt, wird durch Beiträge von selbstmittelnden Konstellationen von Streupfaden gefunden