| License: Creative Commons Attribution No Derivatives 4.0 PDF - Published Version (4MB) |
- URN to cite this document:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-514124
- DOI to cite this document:
- 10.5283/epub.51412
| Item type: | Thesis of the University of Regensburg (PhD) |
|---|---|
| Open Access Type: | Primary Publication |
| Date: | 20 January 2022 |
| Referee: | Prof. Dr. Felix Finster |
| Date of exam: | 22 December 2021 |
| Institutions: | Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Felix Finster |
| Keywords: | Second Variation; Causal Action; Regularized Dirac Sea Configurations; Causal Fermion Systems; Mathematical Physics |
| Dewey Decimal Classification: | 500 Science > 500 Natural sciences & mathematics 500 Science > 510 Mathematics 500 Science > 530 Physics |
| Status: | Published |
| Refereed: | Yes, this version has been refereed |
| Created at the University of Regensburg: | Yes |
| Item ID: | 51412 |
Abstract (English)
The theory of causal fermion systems provides a new mathematical framework which allows for a unified description of contemporary fundamental physics. One essential ingredient of this framework is the so-called causal action which is a certain functional of a measure defined on a specific subset of the bounded linear operators on a Hilbert space. For a given measure, this functional can be ...
Abstract (English)
The theory of causal fermion systems provides a new mathematical framework which allows for a unified description of contemporary fundamental physics. One essential ingredient of this framework is the so-called causal action which is a certain functional of a measure defined on a specific subset of the bounded linear operators on a Hilbert space. For a given measure, this functional can be regarded as a quantifier of the weighted causal relation of all operators within the support of the measure. Moreover, the functional is subject to the causal action principle which aims at minimizing the causal action by varying the measure and in this way makes the measure a dynamical variable. All of this, as well as further fundamental objects of the theory which are relevant to this thesis, are introduced and explained in Chapter 1.
Within these structures and based on certain foundational conceptions, one can now model concrete physical systems, which are always understood as a combination of some spacetime manifold together with the fermionic particle content existing therein. The foundational conception underlying the modelling is to regard fermions as the fundamental building blocks of nature and to conceive the vacuum, according to Dirac’s interpretation, as the presence of all negative-energy solutions of the Dirac equation in the respective spacetime. To get into the framework of the theory of causal fermion systems, one chooses the above-mentioned Hilbert space as these negative-energy solutions and simultaneously forgets about all the other geometrical and topological structures of spacetime. In order to take into account a possibly existing, though yet not observed, non-trivial microstructure of spacetime which leads to a modified high-energy behaviour of the Dirac solutions, the elements of the Hilbert space are equipped with a so-called regularization. As will be explained in further detail in Chapter 2, it is this regularization which in the modelling of a physical system within the structures provided by the theory of causal fermion systems plays the role of the measure and is thus dynamically determined through the causal action principle.
Embedded in this setting, the present thesis is concerned with the derivation and analysis of the multipole expansion of second variations of the above-mentioned causal action which are caused by variations of the regularization of the so-called regularized kernel of the fermionic projector. The thesis is divided into three major parts: In Part I: Basics we lay the foundations by first introducing and discussing the fundamental mathematical structures of the theory of causal fermion systems and subsequently explaining in detail how concrete physical systems can be realized within this abstract setting and what exactly the underlying foundational conceptions are. Part II: Developments is devoted to the derivation of the multipole expansion of second variations of the regularized causal action. More specifically, in Chapter 3 we derive second variations of the regularized causal action for a homogeneous regularized kernel of the fermionic projector having vector-scalar structure which results in Theorem 3.4.3. Starting from this result, the multipole expansion of the second variation of the regularized causal action is derived and simplified through several steps in Chapter 4, ultimately leading to Theorem 4.3.1 which expresses the multipole moments of the second variation of the regularized causal action in terms of integral operators. In Part III: Applications we then analyze the second variation of the regularized causal action for special regularizations. More concretely, in Chapter 5 we consider an anisotropic generalization of the so-called iε-regularization which is extensively studied in the literature and demonstrate in Theorem 5.2.5 that Lorentz boosts of the velocity vector of this regularization leave the regularized causal action invariant. Additionally, we prove that anisotropically iε-regularized kernels of the fermionic projector lead to a non-vanishing second-order variation of the local particle density compared with the symmetric situation. Finally, in Chapter 6 we outline a procedure which, under certain simplifying assumptions, ultimately allows to demonstrate invertibility of the lowest-order multipole moment of the second variation of the regularized causal action. A generalization of this approach to higher multipole moments is part of a novel mechanism of baryogenesis within the theory of causal fermion systems.
Translation of the abstract (German)
Die Theorie der kausalen Fermionensysteme bildet einen neuen mathematischen Rahmen, der eine einheitliche Beschreibung von Phänomenen der fundamentalen Physik ermöglicht. Ein wesentlicher Bestandteil der Theorie ist die sogenannte kausale Wirkung, die ein Funktional eines Maßes ist, das auf einer bestimmten Teilmenge der auf einen Hilbertraum wirkenden, beschränkten linearen Operatoren definiert ...
Translation of the abstract (German)
Die Theorie der kausalen Fermionensysteme bildet einen neuen mathematischen Rahmen, der eine einheitliche Beschreibung von Phänomenen der fundamentalen Physik ermöglicht. Ein wesentlicher Bestandteil der Theorie ist die sogenannte kausale Wirkung, die ein Funktional eines Maßes ist, das auf einer bestimmten Teilmenge der auf einen Hilbertraum wirkenden, beschränkten linearen Operatoren definiert ist. Für ein solches gegebenes Maß kann die kausale Wirkung als eine Größe, die Aufschluss über die gewichteten kausalen Beziehungen aller Operatoren innerhalb des Trägers des Maßes gibt, aufgefasst werden. Dieses Funktional ist Teil des kausalen Wirkungsprinzips, das darin besteht, die kausale Wirkung durch Variation des Maßes zu minimieren, wodurch das Maß zu einer dynamischen Variablen wird. All dies sowie weitere grundlegende Objekte der Theorie, die für die vorliegende Arbeit relevant sind, werden in Kapitel 1 eingeführt und erläutert.
Innerhalb dieser Strukturen und aufbauend auf bestimmten grundlegenden Konzeptionen lassen sich nun konkrete physikalische Systeme modellieren, die immer eine Kombination einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit zusammen mit dem darin vorhandenen fermionischen Teilcheninhalt sind. Die der Modellierung zugrundeliegende Konzeption besteht darin, Fermionen als die fundamentalen Bausteine der Natur zu betrachten und das Vakuum gemäß der Dirac-Interpretation als die Anwesenheit aller Lösungen der Dirac-Gleichung mit negativer Energie in der jeweiligen Raumzeit aufzufassen. Um in den konzeptionellen Rahmen der Theorie der kausalen Fermionensysteme zu gelangen, wählt man den oben erwähnten Hilbertraum als den Raum dieser Lösungen negativer Energie und lässt gleichzeitig alle anderen geometrischen und topologischen Strukturen der Raumzeit außer Acht. Um eine möglicherweise vorhandene, aber noch nicht beobachtete, nichttriviale Mikrostruktur der Raumzeit zu berücksichtigen, die zu einem modifizierten Hochenergieverhalten der Dirac-Lösungen führt, werden die Elemente des Hilbertraums mit einer sogenannten Regularisierung versehen. Wie in Kapitel 2 näher erläutert wird, ist es diese Regularisierung, die bei der Modellierung eines physikalischen Systems innerhalb der von der Theorie der kausalen Fermionensysteme bereitgestellten Strukturen die Rolle des Maßes spielt und damit durch das kausale Wirkungsprinzip dynamisch bestimmt wird.
Eingebettet in diesen Rahmen befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung und Analyse der Multipolentwicklung von zweiten Variationen der oben erwähnten kausalen Wirkung, die durch Variationen der Regularisierung des sogenannten regularisierten Kerns des fermionischen Projektors verursacht werden. Die Arbeit ist in drei Hauptteile gegliedert: In Teil I: Grundlagen werden zunächst die grundlegenden mathematischen Strukturen der Theorie der kausalen Fermionensysteme vorgestellt und diskutiert, um anschließend näher im Detail zu erläutern, wie konkrete physikalische Systeme in diesem abstrakten Rahmen realisiert werden können und was genau die zugrundeliegenden Konzeptionen sind. Teil II: Entwicklungen befasst sich mit der Herleitung der Multipolentwicklung der zweiten Variationen der regularisierten kausalen Wirkung. Wir leiten dazu in Kapitel 3 die zweiten Variationen der regularisierten kausalen Wirkung für einen homogenen regularisierten Kern des fermionischen Projektors mit Vektor-Skalar-Struktur ab, was schließlich in Theorem 3.4.3 mündet. Ausgehend von diesem Ergebnis wird die Multipolentwicklung der zweiten Variation der regularisierten kausalen Wirkung bestimmt und in Kapitel 4 in mehreren Schritten vereinfacht, was schließlich auf Theorem 4.3.1 führt, worin die Multipolmomente der zweiten Variation der regularisierten kausalen Wirkung in Form von Integraloperatoren ausgedrückt werden. In Teil III: Anwendungen analysieren wir schließlich die zweite Variation der regularisierten kausalen Wirkung für spezielle Regularisierungen. Konkret betrachten wir in Kapitel 5 eine anisotrope Verallgemeinerung der sogenannten iε-Regularisierung, die in der Literatur ausgiebig untersucht wird und zeigen in Theorem 5.2.5, dass Lorentz-Boosts des Geschwindigkeitsvektors dieser Regularisierung die regularisierte kausale Wirkung invariant lassen. Außerdem beweisen wir, dass anisotrop iε-regularisierte Kerne des fermionischen Projektors zu einer nicht-verschwindenden zweiten Variation der lokalen Teilchendichte gegenüber der symmetrischen Situation führen. Schließlich skizzieren wir in Kapitel 6 ein Verfahren, das es unter bestimmten vereinfachenden Annahmen ermöglicht, die Invertierbarkeit des Multipolmoments niedrigster Ordnung der zweiten Variation der regularisierten kausalen Wirkung zu zeigen. Eine Verallgemeinerung dieses Ansatzes auf höhere Multipolmomente ist wesentlicher Bestandteil eines neuartigen Mechanismus' der Baryogenese innerhalb der Theorie der kausalen Fermionensysteme.
Metadata last modified: 20 Jan 2022 09:54
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