This thesis presents three research projects, with one chapter devoted to each.
The first chapter establishes a canonical decomposition of piecewise-linear spatial graphs (that is, graphs embedded in 3-spheres), into pieces that are non-separable by 2-spheres, and have no topologically cut vertices -- such spatial graphs are called "blocks". This was motivated by the goal of producing an ...
Abstract (English)
This thesis presents three research projects, with one chapter devoted to each.
The first chapter establishes a canonical decomposition of piecewise-linear spatial graphs (that is, graphs embedded in 3-spheres), into pieces that are non-separable by 2-spheres, and have no topologically cut vertices -- such spatial graphs are called "blocks". This was motivated by the goal of producing an algorithm for testing the isomorphism type of spatial graphs, by encoding them as 3-manifolds with boundary pattern and applying a theorem of Matveev. Operations of disjoint union and vertex sum of spatial graphs are defined, and a combinatorial gadget for specifying iterated vertex sums is introduced, called a "tree of spatial graphs". The main results of this chapter are that each spatial graph is the disjoint union of non-separable pieces in a unique way, and each piece is the realization of a unique tree of blocks.
Chapter 2 studies a simplicial complex defined for compact oriented smooth manifolds M (of any dimension) with a chosen codimension-1 homology class φ. This complex S*(M, φ) relates the properly embedded hypersurfaces in M representing φ, and its definition is similar to that of other classical complexes, such as the curve complex of a surface or the Kakimizu complex of a knot, with the difference that hypersurfaces are not taken up to isotopy. We show that S*(M, φ) is connected and simply connected. We also show connectedness of a similar complex adapted to the 3-dimensional case, where only Thurston norm-realizing surfaces are considered. The connectedness results are transported to the complexes where hypersurfaces are taken up to isotopy, and in dimension 2 also the simple connectedness result is extended.
The last chapter presents the proof that oriented compact connected 3-manifolds with toroidal boundary that are prime and not covered by S^3 satisfy integral approximation of simplicial volume. The computation of stable integral simplicial volume for such a manifold M is carried out in terms of its integral foliated simplicial volume, which in turn is obtained by assembling the values for each of the JSJ pieces of M. The assembly requires a variant of integral foliated simplicial volume that takes into account the norm of the boundary of fundamental cycles. The aim of this chapter is to highlight the overall strategy of the argument, breaking down the main ingredients of the proof, so some of the more technically involved arguments are omitted.
Translation of the abstract (German)
Diese Doktorarbeit stellt drei Forschungsprojekte vor, jedem davon ist ein Kapitel gewidmet.
Das erste Kapitel behandelt eine kanonische Zerlegung von stückweise-linearen räumlichen Graphen (das heißt Graphen, die in 3-Sphären eingebettet sind), in Stücke, die durch 2-Sphären nicht trennbar sind, und keine topologischen Schnittknoten haben - solche räumlichen Graphen werden "Blöcke" genannt. Die ...
Translation of the abstract (German)
Diese Doktorarbeit stellt drei Forschungsprojekte vor, jedem davon ist ein Kapitel gewidmet.
Das erste Kapitel behandelt eine kanonische Zerlegung von stückweise-linearen räumlichen Graphen (das heißt Graphen, die in 3-Sphären eingebettet sind), in Stücke, die durch 2-Sphären nicht trennbar sind, und keine topologischen Schnittknoten haben - solche räumlichen Graphen werden "Blöcke" genannt. Die Motivation hierfür liegt in der Erzeugung eines Algorithmuses zum Testen des Isomorphietyps räumlicher Graphen, in dem sie als 3-Mannigfaltigkeiten mit Randmuster kodiert werden, um dann einen Satz von Matveev anzuwenden. Die disjunkte Vereinigung und die Knotensumme von räumlichen Graphen werden definiert, und eine kombinatorische Konstruktion zum Vorschreiben von iterierten Knotensummen wird eingeführt und als "Baum von räumlichen Graphen" bezeichnet. Die Hauptergebnisse dieses Kapitels sind, dass jeder räumliche Graph auf eindeutige Weise die disjunkte Vereinigung von nicht trennbaren Teilen ist, wobei jeder Teil die Realisierung eines eindeutigen Baums von Blöcken ist.
Kapitel 2 untersucht einen simplizialen Komplex, der für kompakte orientierte glatte Mannigfaltigkeiten M (von beliebiger Dimension) mit einer ausgewählten Kodimension-1-Homologieklasse φ definiert ist. Dieser Komplex S*(M, φ) betrifft die eigentlich eingebetteten Hyperflächen M, die φ darstellen. Seine Definition ist ähnlich zu anderen klassischen Komplexen, wie dem Kurvenkomplex einer Fläche oder dem Kakimizu-Komplex eines Knotens, mit dem Unterschied, dass die Hyperflächen nicht bis auf Isotopie untersucht werden. Wir zeigen, dass S*(M, φ) zusammenhängend und einfach zusammenhängend ist. Wir zeigen auch, dass ein ähnlicher, an den 3-dimensionalen Fall angepasster Komplex zusammenhängend ist. Dabei werden nur Thurstonnorm-realisierende Flächen berücksichtigt. Die die Frage des Zusammenhangs betreffenden Resultate werden auf diejenigen Komplexe übertragen, in denen Hyperflächen bis auf Isotopie untersucht werden. In Dimension 2 überträgt sich auch das Resultat des einfachen Zusammenhangs.
Das letzte Kapitel stellt den Beweis vor, dass orientierte kompakte zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeiten mit Torus-Rand, welche prim sind und nicht von S^3 überlagert werden, die integrale Approximation von simplizialem Volumen erfüllen. Die Berechnung des stabilen integralen simplizialen Volumens für eine solche Mannigfaltigkeit M wird in Bezug auf ihr integrales geblättertes simpliziales Volumen durchgeführt, welches sich wiederum durch Zusammenfügen der Werte für jedes der JSJ-Teile von M bestimmt. Dieses Zusammenfügen erfordet eine Variante des integralen geblätterten simplizialen Volumens, die die Norm des Randes von Fundamentalzykeln berücksichtigt. Ziel dieses Kapitels ist es, die Gesamtstrategie des Arguments hervorzuheben und die Hauptzutaten des Beweises einzeln vorzustellen. Einige der technisch aufwändigeren Argumente werden dabei weggelassen.
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