Over the last two decades, topological insulators have attracted considerable interest due to their unique ability to robustly conduct charge carriers at their surfaces, while remaining insulating inside. To date, the mechanism by which these surface states arise has been well understood, giving us considerable insight into the massless Dirac particle nature of these states. However, previous studies have focused only on trivial geometries of topological insulators, such as flat slabs or thin films, with no intrinsic or extrinsic curvature.
Moreover, experimental progress shows the possibility of growing topological insulating crystalline structures with various complex geometries. Therefore, to fill the theoretical gap and to motivate new experiments, we generalize the description of topological insulators to general curved spaces, and consider the Dirac Hamiltonian on several prominent curved surfaces, such as the cone and the pseudosphere, subjected to a coaxial magnetic field.

In the first part of the thesis, we calculate the bound states on these surfaces and find that the energies decompose into two branches, one which is curvature independent and always scales with B^{1/2}, and one which is curvature dependent, giving us, for example, in the case of the pseudosphere, a peculiar scaling of B^{1/4}. Notably, we find a further surface whose curvature dependent part of the spectrum has bound state energies that are independent of the magnetic field.

In the second part of the thesis, we perform quantum magnetotransport simulations on the pseudosphere, including a longitudinal conductance and a 4-terminal quantum Hall simulation. For the longitudinal simulation, we reveal the mechanism by which electrons propagate along curved topological insulator surfaces, consisting of resonant tunneling through non-degenerate energy levels that have a non-zero overlap due to disorder effects in the materials, such as impurities. For the quantum Hall transport simulation, we reveal the mechanism by which the edge states give rise to quantum Hall plateaus in a 4 terminal measurement on curved surfaces.

In den letzten zwei Jahrzehnten haben topologische Isolatoren aufgrund ihrer einzigartigen Fähigkeit, Ladungsträger robust an ihren Oberflächen zu leiten, während sie im Inneren isolierend bleiben, großes Interesse auf sich gezogen. Der Mechanismus, durch den diese Oberflächenzustände entstehen, ist inzwischen gut verstanden und liefert tiefgehende Einblicke in die masselose Dirac-Natur dieser Zustände. Bisherige Untersuchungen beschränkten sich jedoch auf triviale Geometrien topologischer Isolatoren, wie beispielsweise flache Schichten oder dünne Filme, die keinerlei intrinsische oder extrinsische Krümmung aufweisen.
Gleichzeitig zeigen experimentelle Fortschritte, dass es möglich ist, topologisch isolierende Kristallstrukturen mit komplexeren Geometrien zu erzeugen. Um diese theoretische Lücke zu schließen und neue Experimente anzuregen, verallgemeinern wir daher die Beschreibung topologischer Isolatoren auf gekrümmte Räume und betrachten den Dirac-Hamiltonoperator auf mehreren charakteristischen gekrümmten Flächen, wie dem Kegel und der Pseudosphäre, jeweils im Einfluss eines koaxialen Magnetfeldes.

Im ersten Teil der Arbeit berechnen wir die gebundenen Zustände auf diesen Flächen und finden, dass sich die Energien in zwei Zweige aufspalten: einen, der unabhängig von der Krümmung ist und stets mit B^{1/2} skaliert, sowie einen, der von der Krümmung abhängt und beispielsweise im Fall der Pseudosphäre zu einer ungewöhnlichen Skalierung mit B^{1/4} führt. Bemerkenswerterweise finden wir zudem eine weitere Fläche, bei der der krümmungsabhängige Anteil des Spektrums gebundene Zustände mit einer vom Magnetfeld unabhängigen Energie aufweist.

Im zweiten Teil der Arbeit führen wir quantenmechanische Magnetotransportsimulationen auf der Pseudosphäre durch, einschließlich einer longitudinalen Leitfähigkeitsmessung sowie einer Vierpunktmessung im Quanten-Hall-Regime. In der longitudinalen Simulation zeigen wir den Mechanismus, durch den Elektronen entlang gekrümmter Oberflächen von topologischen Isolatoren propagieren: Dieser beruht auf resonantem Tunneln durch nicht-entartete Energieniveaus, die aufgrund von Unordnungseffekten im Material, wie etwa durch Verunreinigungen, eine endliche Überlappung aufweisen. In der Quanten-Hall-Simulation zeigen wir den Mechanismus, durch den Randzustände auf gekrümmten Oberflächen zu Quanten-Hall-Plateaubildung in einer Vierpunktmessung führen.