In this thesis, we investigate the conjecture that rational homology 3-spheres that admit taut foliations must also admit irreducible SU(2)-representations.
Rational homology 3-spheres with taut foliations embed into 4-manifolds with non-vanishing Donaldson invariants as separating hypersurface.
The main result of this thesis shows that if a 4-manifold is split by a rational homology 3-sphere whose perturbed SU(2)-representation variety (the critical set of the perturbed Chern-Simons functional) has only reducible points, then that 4-manifold's Donaldson invariants must vanish. This establishes the conjecture under an additional assumption about holonomy perturbations.
The proof is based on a compactness argument, a dimension count and the invariance of Donaldson's invariants under certain perturbations. The assumption on reducibility of critical points is reflected in a positive defect in a dimension sum formula, which forces the dimension of certain moduli spaces to be negative.

In dieser Dissertation untersuchen wir die Vermutung, dass rationale Homologie-3-Sphären, die eine straffe Blätterung tragen, auch irreduzible SU(2)-Darstellungen zulassen.

Rationale Homologie-3-Sphären mit straffen Blätterungen lassen sich als trennende Hyperflächen in 4-Mannigfaltigkeiten mit nichtverschwindenden Donaldson-Invarianten einbetten.

Das Hauptergebnis dieser Arbeit zeigt: Enthält eine 4-Mannigfaltigkeit durch eine rationale Homologie-3-Sphäre als trennende Hyperfläche, deren gestörte SU(2)-Darstellungsvarietät (die kritische Menge des gestörten Chern-Simons-Funktionals) ausschließlich aus reduziblen Punkten besteht, dann verschwinden die Donaldson-Invarianten dieser 4-Mannigfaltigkeit. Damit wird die Vermutung unter einer zusätzlichen Annahme über Holonomie-Störungen bestätigt.

Der Beweis basiert auf einem Kompaktheits- und einem Dimensionszählungsargument sowie der Invarianz der Donaldson-Invarianten unter bestimmten Störungen. Die Annahme, dass alle kritischen Punkte reduzibel sind, äußert sich in einem positiven Defekt in einer Dimensionssummenformel, was erzwingt, dass die Dimension bestimmter Modulräume negativ ist.