Mannigfaltigkeiten sind geometrische Räume, die durch nicht-lineare Gleichungssysteme beschrieben sind. Sie treten in fast jedem Bereich der Mathematik und ihrer Anwendungen auf, etwa als Zustands- und Modellräume in der Physik und angewandten Mathematik, als Minimalflächen und Räume mit bestimmten Krümmungseigenschaften in der Differentialgeometrie oder als Modulvarietäten in der Zahlentheorie. In praktisch allen Fällen definiert der jeweilige Anwendungskontext eine zusätzliche globale Struktur, die Informationen über die spezielle Situation kodiert: Die Zustandsräume der Mechanik und der Optik besitzen eine symplektische oder eine Kontaktstruktur, Twistorräume über gewissen Riemannschen Mannigfaltigkeiten haben eine komplexe Kontaktstruktur und sind unigeregelt.Obwohl die auftretenden Räume mit ihren Strukturen klassisch ganz unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zugerechnet werden, kann man sich beim Studium globaler Strukturen nicht mehr auf die Methoden einer Disziplin beschränken; in allen Teilbereichen entstanden wesentliche Erkenntnisse der letzten Jahre durch Zusammenarbeit von Mathematikern unterschiedlicher Forschungsrichtungen. In unserem Forschungsprogramm, dessen Teilprojekte meist zwischen den klassischen Disziplinen angesiedelt sind, untersuchen wir die globalen Strukturen von Mannigfaltigkeiten und Zustandsräumen, die im geometrischen Kontext und in ausgewählten Bereichen der angewandten Mathematik auftreten. Dies bedeutet für uns die Klassifikation von Mannigfaltigkeiten mit speziellen geometrischen Strukturen, das Studium von Invarianten, die die Räume in verschiedene Klassen einteilen, und die Untersuchung von Modulräumen sowie die Entwicklung von Methoden, mit denen neue Mannigfaltigkeiten konstruiert werden können.Unser Studienprogramm ist ebenfalls interdisziplinär ausgerichtet: Wir sehen eine Reihe fächerübergreifender Forschungs- und Lehrveranstaltungen vor, und Doppelbetreuung ist die Regel. Das herausragendste Merkmal unseres Studienprogramms ist aber die starke internationale Komponente. Die Einbettung der Kollegiaten in die scientific community wird unter anderem durch Forschungsreisen und durch unser Workshop-Programm sichergestellt. Die Kollegiaten profitieren von einer großen Zahl von Kooperationen mit einer Reihe von Forschungseinrichtungen und -programmen der Region, insbesondere dem Sonderforschungsbereich/Transregio 12.
