In der algebraischen Geometrie studiert man die Geometrie der Lösungsmenge einer Familie von Polynomgleichungen. Eine Methode ganzzahlige Lösungen solcher Systeme von Gleichungen zu studieren ist Arakleovtheorie. Es war Arakelovs große Einsicht, dass es zum Studium dieser Lösungsmengen sehr hilfreich ist, algebraische Geometrie bei den Primzahlen, die oft endliche Stellen genannt werden, mit analytischer Geometrie über den komplexen Zahlen zu kombinieren. Es war seit jeher die Hoffnung in der Arakelovtheorie auch an den endlichen Stellen analytische Geometrie verwenden zu können. Hierzu benötigt man insbesondere einen Begriff von reellwertigen Differentialformen an einer solchen endlichen Stelle.In den 1990ern führte Berkovich geeignete analytische Räume, sogenannte Berkovich-analytische Räume, ein. Im Jahr 2012 führten Chambert-Loir und Ducros glatte reellwertige Differentialformen auf Berkovich-analytischen Räumen ein. Chambert-Loir und Ducros, sowie Gubler und Künnemann als auch Liu zeigten erste Anwendungen dieser Differentialformen in der Arakelovtheorie. Meine eigenen Vorarbeiten beinhalten ein Poincarélemma, welches entscheidend in Lius Arbeit benutzt wird. In Zusammenarbeit mit V. Wanner haben wir darüber hinaus gezeigt, dass die Kohomomogie die durch diese Differentialformen definiert wird, für Mumfordkurven Poincarédualität erfüllt und dies angewendet, um diese Kohomologie für Mumfordkurven vollständig zu berechnen.Das Ziel meines Forschungsprojekts ist es, die Kohomologie dieser glatten reellwertigen Differentialformen in einem allgemeinen Kontext zu studieren und Resultate über ihre Kohomologie zu beweisen, die analog zu den Resultaten über den komplexen Zahlen sind. Insbesondere will ich zeigen, dass die Kohomologie von Kurven Poincarédualität erfüllt. Poincarédualität ist eine grundlegende Eigenschaft glatter Differentialformen über den komplexen Zahlen, die sowohl in theoretischen Anwendungen als auch in konkreten Berechnungen sehr nützlich ist. Da die Definition glatter reellwertiger Differentialformen tropische Geometrie verwendet und Vorarbeiten direkte Zusammenhänge mit tropischen Invarianten zeigen, wird auch das Studium von Fragestellungen in tropischer Geometrie ein Teil des Projekts sein. In besagten Vorarbeiten, welche gemeinsam mit K. Shaw und J. Smacka durchgeführt wurden, wurde weiter gezeigt, dass glatte tropische Varietäten Poincarédualität erfüllen. Ich will zeigen, dass mehr tropische Räume Poincarédualität erfüllen. Außerdem will ich zeigen, dass bestimmte tropische Räume und insbesondere glatte projektive tropische Varietäten eine Symmetrie in den Hodgezahlen erfüllen.
