Es gibt einige Kohomologietheorien von Schemata, die sehr gute Eigenschaften haben und voll entwickelt sind, wie die ℓ-adische étale Kohomologie falls die Primzahl ℓ auf dem Schema invertierbar ist, oder die de Rham-Kohomologie für holonome D-Moduln in Charakteristik null, die regulär singuläre Zusammenhänge behandelt. Dies ist nicht der Fall bei der kristallinen Kohomologie in positiver Charakteristik und bei der Theorie der irregulär singulären Zusammenhänge, die in diesem Projekt betrachtet werden. In beiden Fällen kommt die Motivation von der Analogie mit ℓ-adischen Garben und zum Teil auch von L-Funktionen, und es handelt sich um Phänomene wilder Verzweigung.Ziel von Projekt V.1 ist die Etablierung einer neuen Kohomologie- und Garbentheorie in positiver Charakteristik, die die kristalline Kohomologie verfeinert und eine bessere ganzzahlige Theorie liefert. Der Frobenius wird dabei zu einer Theorie von φ-gauges verfeinert. Dies liefert andererseits auch eine Verallgemeinerung der Dieudonné-Theorie, von Motiven, die zur Kohomologie im Grad 1 gehören, zu beliebigen Motiven. Eine Anwendung der neuen Kohomologietheorie sind Ergebnisse über spezielle Werte von L-Funktionen für Motive über endlichen Körpern.Im Projekt V.2 geht es ebenfalls um eine neue Kohomologietheorie und zwar soll die von Bloch und Esnault [BE04] für Kurven eingeführte Rapid-Decay-Kohomologie von irregulär singulären Zusammenhängen samt der Periodenpaarung mit der de Rham-Kohomologie auf Varietäten beliebiger Dimension verallgemeinert werden. Für Flächen wurde dies in [Hi07a] durchgeführt. Ein weiteres Ziel ist die Betrachtung der Irregularitätsgarben und einer ihnen zugeordneten Paarung, sowie die konkrete Berechnung von Perioden, in Fortführung von [Hi07b]. Es soll untersucht werden, ob es eine Produktformel gibt; dies ist motiviert von der entsprechenden Produktformel für die ε-Faktoren einer ℓ-adischen Darstellung.
