Wir schlagen die folgenden Projekte vor, die sich mit speziellen Metriken in der Spin-Geometrie beschäftigen.Projekt A: Vorschreiben von Dirac-Eigenwerten von höherer MultiplizitätDie Dirac-Gleichung
ist eine fundamentale Gleichung, die auf Diracs Formulierung der Quantenmechanik zurück geht. Aus physikalischer und auch aus mathematischer Sicht interessiert man sich für solche
, für die die Dirac-Gleichung Lösungen
besitzt, d.h. für die Eigenwerte des Dirac-Operators
. Formuliert man das Problem auf einer kompakten Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit, so hat der Dirac-Operator stets ein diskretes Spektrum, welches von der Metrik abhängt. Dahl stellte im Jahr 2005 die Vermutung auf, dass die Eigenwerte des Dirac-Operators in einem beschränkten Spektralintervall im Prinzip beliebig vorgeschrieben werden können (solange man einige Nebenbedingungen beachtet). In meiner Doktorarbeit konnte ich zeigen, dass Eigenwerte von höherer Multiplizität in Dimensionen
zumindest immer existieren. In diesem Projekt möchte ich dieses Resultat weiter verbessern und zeigen, dass man endlich viele Eigenwerte von einfacher und von doppelter Multiplizität vorschreiben kann.Projekt B: Kritische Punkte des spinoriellen Energiefunktional und es Willmore FunktionalsJeder kompakten orientierten Fläche, die in den
immersiert ist, kann man eine sogenannte Willmore Energie zuordnen. Diese Größe misst wie stark die Fläche verbogen ist. Die berühmte Vermutung von Willmore besagt, dass die Willmore-Energie eines jeden Torus stets größergleich
ist. Diese Vermutung würde vor kurzem von Marques und Neves bewiesen. Ein zentrales Hilfsmittel im Beweis ist die geschickte Konstruktion einer 5-Parameter-Familie von Flächen, der sogenannten kanonischen Familie .Auf der anderen Seite haben Ammann, Weiss und Witt ein spinorielles Energiefunktional eingeführt, das auf dem Bündel der universellen Einheitsspinorfelder wirkt, und welches man als eine Erweiterung des klassischen Willmore-Funktionals ansehen kann. Wir wollen neue kritische Punkte dieses spinoriellen Energiefunktionals finden, indem wir analog die kritischen Punkte durch k-Parameter-Familien einfangen . Umgekehrt wollen wir studieren, welche Willmore tori auch kritische Punkte des spinoriellen Energiefunktionals sind.
