Wir planen ein thermodynamisch konsistentes Phasenfeldmodell für Zwei-Phasen-Strömungen mit möglicherweise verschiedenen Dichten zu untersuchen, welches kürzlich von A. Giorgini und dem Antragsteller in [arXiv:2208.09695] hergeleitet wurde. Das Modell besteht aus einer Navier-Stokes-Gleichung, welche die zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfelds beider Fluide beschreibt, und einer konvektiven Cahn-Hilliard-Gleichung, die die räumliche Verteilung der Fluide im betrachteten Gebiet mittels einer Phasenfeldfunktion darstellt. Diese beiden Subsysteme sind durch den Phasenfeld-abhängigen Quellterm in der Navier-Stokes-Gleichung sowie die Konvektionsterme im Cahn-Hilliard-Subsystem nichtlinear gekoppelt. Im Falle ungleicher Dichten, das heißt, dass die individuellen konstanten Dichten der Fluide verschieden sind, besteht eine zusätzliche nichtlineare Kopplung, da die Dichtefunktion in der Navier-Stokes-Gleichung auch vom Phasenfeld abhängt. Im Gegensatz zu bisherigen Phasenfeldmodellen für Zweiphasenströmungen, die in der Literatur zu finden sind (z.B. das wohlbekannte Abels-Garcke-Grün-Modell), ist unser neues Modell aus [arXiv:2208.09695] in der Lage dynamische Änderungen des Kontaktwinkels zwischen dem diffusen Interface und dem Rand des Containers sowie die Absorption von Material durch den Rand zu beschreiben. Dies wird durch die Verwendung einer Klasse dynamischer Randbedingungen für das Cahn-Hilliard-Subsystem erreicht, die für die Cahn-Hilliard-Gleichung bereits vorher von K.F. Lam, C. Liu, S. Metzger und dem Antragsteller in [ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis 55(1): 229-282, 2021] eingeführt und diskutiert wurden. Um ein (thermodynamisch) konsistentes Modell zu erhalten, stellen wir eine passende Navier-Slip-Randbedingung an das Geschwindigkeitsfeld. Die Herleitung unseres neuen Navier-Stokes-Cahn-Hilliard-Modells sowie einige erste analytische Resultate wurden in [arXiv:2208.09695] präsentiert. Das Ziel des beantragten Projekts ist dieses Modell weiter im Hinblick auf mathematische Analysis zu untersuchen, zunächst im Fall von gleichen Dichten, aber danach auch im deutlich schwierigeren Fall von ungleichen Dichten der beiden Fluide.
