Geometrie von Homöomorphismengruppen von Flächen (SPP 2026)

Dieses Projekt beschäftigt sich mit topologischen Symmetrien von Flächen endlichen Typs. Solche Flächen gehören zu den grundlegendsten Objekten in Geometrie und Topologie. Und obwohl solche Flächen einfach zu beschreiben sind, und seit Anfang des 20. Jahrhunderts intensiv studiert wurden, zeigen ihre Homöo- und Diffeomorphismengruppen überraschende Tiefe und Komplexität, und sind noch immer eine reiche Quelle interessanter offener Fragen.In den letzten Jahren hat sich die geometrische Gruppentheorie als ein zentrales Hilfsmittel im Studium von Isotopieklassen von Homöomorphismen (d.h. der Abbildungsklassengruppe) erwiesen. Ziel dieses Projekts ist es, einige dieser erfolgreichen Ideen in den Kontext von Homöomorphismengruppen zu übertragen um einige herausragende offene Fragen zu bearbeiten.Etwas präzise gesagt steht im Kern dieses Projekts eine geometrische Untersuchung eines neuen, feinen Kurvengraphen, der von Bowden-Hensel-Webb dieses Jahr definiert wurde.Isometrieklassifikation: Wir werden Zusammenhänge zwischen der Dynamik von Flächenhomömorphismen und der Geometrie ihrer Wirkung auf dem feinen Kurvengraphen untersuchen. Dies hat Konsequenzen für das stetige Zimmer-Programm, insbesondere der Frage ob Gitter von höherem Rang treu auf Flächen wirken können.Stabile Kommutatorlänge: Der feine Kurvengraph hat sich bereits als ein nützliches Hilfsmittel erwiesen, um unbeschränkte Quasihomomorphismen auf Homöomorphismengruppen von Flächen zu definieren. Wir werden dieses Programm weiterführen, und eine systematische Klassifikation der Elemente mit postiver stabiler Kommutatorlänge beginnen.Großskalige Geometrie: Resultate von Mann-Rosendal zeigen, dass Homöomorphismengruppen von Flächen eine wohldefinierte großskalige Geometrie haben. Inspiriert von der Rolle die der (übliche) Kurvengraph im Studium der Geometrie von Abbildungsklassengruppen einnimmt, werden wir den feinen Kurvengraphen verwenden um diese Geometrie weiter zu untersuchen.