Unser Projekt ist durch aktuelle Probleme in der Krebsforschung motiviert, insbesondere durch die Modellierung von Tumorprogression. Tumore schreiten durch die Anhäufung von Mutationen und anderen Progressionsereignissen, wie z.B. epigenetische Veränderungen, Entzündungen oder strukturelle Veränderungen des Genoms voran. Je besser wir die Kräfte verstehen, die diesen Prozess antreiben, umso besser verstehen wir, welche Ereignisse die Expansion, Verbreitung, Metastasenbildung, Therapieresistenz und den Tod des Patienten beeinflussen. Die Kombination von bereits vorhandenen Ereignissen in einem Tumor bestimmt die Rate der Ereignisse, die noch nicht aufgetreten sind. Mit anderen Worten, die Tumorprogression ist ein Markov-Prozess auf dem Zustandsraum der Tumorgeno- und phänotypen (alle möglichen Kombinationen von Ereignissen), ein Raum, der exponentiell in der Anzahl der binären Progressionsereignisse wächst.Unser Ziel ist es, ein hierarchisches Niedrigrang-Tensormodell zu entwickeln, in dem wir die Tumorprogression modellieren und Näherungen in linearer Komplexität finden können. Darüber hinaus wollen wir die patientenspezifische Entwicklung von Tumoren im Sinne der entstehenden Tensorhierarchie im mathematischen Modell verstehen. Langfristig streben wir die Vorhersage und Beeinflussung der individuellen Entwicklung des Tumors an.In Vorbereitung auf dieses Projekt haben wir ein einfaches Tumorprogressionsmodell in geeigneter Niedrigrang-Tensorform aufgestellt und in einem kleineren numerischen Test verifiziert, dass eine hierarchische Niedrigrang-Struktur in den vorgegebenen realen Daten vorhanden ist. Um diese Niedrigrang-Struktur zu finden und auszunutzen, schlagen wir drei Forschungshauptlinien vor: Zunächst entwickeln wir neuartige Tensoroperationen, mit besonderer Betonung der Kullback-Leibler Divergenz für Niedrigrang-Tensoren. Diese erfordern geschlossene Formeln für Grundfunktionen von Tensoren und ein tiefes theoretisches Verständnis der Niedrigrang-Strukturen. Zweitens werden wir das einfache Tumorprogressionsmodell erweitern, um reversible Ereignisse, fehlende Daten, versteckte Ereignisse und Interaktionen höherer Ordnung berücksichtigen zu können. Drittens werden unsere Methoden in eine leistungsstarke Open Source Löserbibliothek integriert. Diese wird es uns ermöglichen, numerische Experimente in realistischen (und großskaligen) Tumorprogressionsmodellen durchzuführen.
