SFB 1085: Höhere Invarianten – Wechselwirkungen zwischen Globaler Analysis und Arithmetischer Geometrie

In der Mathematik spielen geometrische Invarianten eine wichtige Rolle. Diese ordnen komplizierten geometrischen Objekten einfachere Strukturen zu, mit dem Ziel die Objekte zu beschreiben und zu klassifizieren. Viele tiefliegende Erkenntnisse in der Mathematik beruhen auf der erfolgreichen Anwendung dieses Prinzips.Neue Ideen haben das Verständnis klassischer geometrischer Invarianten in den letzten Jahren verändert und gezeigt, wie man diese mit technisch anspruchsvollen Methoden systematisch zu höheren Invarianten verfeinern kann. Diese Entwicklung wird vor allem von der Arithmetischen Geometrie und der Globalen Analysis vorangetrieben. Trotz unterschiedlicher Stoßrichtung beider Gebiete beeinflussen sich die dabei benutzten Techniken und Konzepte zunehmend. Viele der manchmal überraschenden Beziehungen zwischen den höheren Invarianten in beiden Gebieten sind aber bisher nicht geklärt. Ein systematischer Transfer von Ideen und Resultaten zwischen beiden Gebieten, wie von diesem SFB initiiert, führt hier häufig zu konzeptionellen Erklärungen und einer Vereinheitlichung.In den ersten beiden Förderperioden dieses SFBs hat sich gezeigt, dass die zurzeit prosperierenden Theorien höhere Kategorientheorie, motivische Homotopietheorie und derivierte algebraische Geometrie mächtige Hilfsmittel zum Studium und zur Konstruktion höherer Invarianten bereitstellen. Diese Entwicklung wird in der dritten Förderperiode aufgegriffen und der SFB durch Projekte und PIs in diesen Bereichen verstärkt.Die Erwartung, dass diese gemeinsame Perspektive zu neuen Einsichten und Resultaten führt, wurde in der zweiten Förderperiode erfolgreich realisiert und hat zur Lösung schwieriger Probleme und zu neuen Perspektiven auf fundamentale Fragestellungen geführt. Entscheidend für diese Ergebnisse war die Theorie höherer Invarianten und höherer Strukturen, sowie die Zusammenarbeit von Arithmetischer Geometrie und Globaler Analysis.Das Hauptziel dieses SFBs soll durch die Verfolgung zweier voneinander abhängender und sich ergänzender Forschungsrichtungen erreicht werden: das Studium spezifischer höherer Invarianten und die Entdeckung der Prinzipien der Konstruktion höherer Invarianten. Dies sollte zu einer Vereinheitlichung und einer allgemeinen Theorie höherer Invarianten in der Arithmetischen Geometrie und der Globalen Analysis führen.