Das Forschungsprogramm des Graduiertenkollegs in seiner zweiten Periode kann durch folgende Stichworte umrissen werden: 1. Höhen und Wachstumsbedingungen in der arithmetischen Geometrie und der geometrischen Gruppentheorie 2. Globale Differentialgeometrie, Topologie und Analysis von Diracoperatoren 3. Krümmungsgetriebene geometrische Flüsse von Hyperflächen oder Metriken 4. Singularitäten und Kompaktifizierungen in der Geometrie, arithmetischen Geometrie und in der Analysis partieller Differentialgleichungen Die verbindenden Elemente dieser Richtungen bilden die Basis der gemeinsamen Ausbildung der Doktoranden und können etwa durch die folgenden Begriffe cha-rakterisiert werden. 1. geometrische Sprache 2. kategorielles Verständnis von Strukturen 3. Methoden der Homotopietheorie 4. Fortgeschrittene Methoden der Analysis. Als einen wesentlichen Teil der Wirkung des Graduiertenkollegs möchten wir die Doktoranden befähigen, Ideen aus der Arithmetik und Topologie in die Analysis und zurück zu transferieren. Das Graduiertenkolleg erweitert die gut etablierte Struktur der Fakultät bestehend aus drei eng zusammenarbeitenden Schwerpunkten in der arithmetischen Geometrie, der globalen Analysis und in partiellen Differentialgleichungen. Es kann auf einer großen Erfahrung der Antragsteller bei der Heranführung von Doktoranden an die Forschungsfront aufbauen. Es ergänzt Strukturen wie das Johannes-Kepler-Forschungszentrum für Mathematik und den neuen SFB Higher Invariants auf der Ausbildungsseite. Ein wichtiger Teil der Doktorandenausbildung der ma-thematischen Fakultät in Regensburg wird im Rahmen den Graduiertenkollegs durch folgende Beiträge organisiert: 1. Einführenden Vorlesungen und Vorstellung von Forschungsgebieten (Ring-vorlesung, selbstorganisierte Seminare) 2. Horizonterweiterung (Kolloquium des Graduiertenkollegs, Sommerschulen, Workshops and Konferencen), 3. Spezialausbildung (fortgeschrittene Vorlesungen und interdisziplinäre Kurse, Oberseminare, selbstorganisiertes Lernen).
