Stochastic representation of the gradient and Hessian of diffusion semigroups on Riemannian manifolds

Abstract (German)

Bekannte Verfahren zur Berechnung stochastischer Darstellungen des Gradienten von Wärmeleitungs- oder allgemeiner Diffusionshalbgruppen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten mittels Martingalmethoden werden in dieser Arbeit auf den Fall zweiter Ableitungen ausgedehnt. Wir erhalten zunächst nicht-intrinsische Darstellungsformeln in 'Bismut-Form' für die Hessesche von harmonischen Funktionen oder ...

Abstract (German)

Bekannte Verfahren zur Berechnung stochastischer Darstellungen des Gradienten von Wärmeleitungs- oder allgemeiner Diffusionshalbgruppen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten mittels Martingalmethoden werden in dieser Arbeit auf den Fall zweiter Ableitungen ausgedehnt.

Wir erhalten zunächst nicht-intrinsische Darstellungsformeln in 'Bismut-Form' für die Hessesche von harmonischen Funktionen oder Diffusionshalbgruppen. Diese verallgemeinern ein Resultat von Elworthy und Li (1994).

Durch Anwendung einer Vertauschungsrelation von Arnaudon und Thalmaier (2002) für das stochastische und das covariante Differential des Dohrn-Guerra-Transports längs der Pfade einer Brownschen Bewegung auf der Mannigfaltigkeit wird es möglich, durch 'Herausfiltern überflüssigen Rauschens' zu einer intrinsischen Version zu gelangen, d.h. einer Darstellung, deren Einträge nurmehr von Krümmungsgrößen der Mannigfaltigkeit und der treibenden Diffusion selbst, nicht aber von den Koeffizienten der zugehörigen
stochastischen Differentialgleichung abhängen.

Als Anwendungen werden Gradientenabschätzungen von Thalmaier und Wang auf den Fall der Hesseform übertragen. Darüberhinaus wird gezeigt, wie im Falle einer rotationssymmetrischen Mannigfaltigkeit die Abschätzungen verbessert werden können.

Translation of the abstract (English)

In this thesis we extend well-known procedures using martingale methods to derive stochastic representations of the gradient of heat (or, more generally, diffusion) semigroups on Riemannian manifolds to the case of second derivatives. We first obtain non-intrinsic representation formulae of 'Bismut type' for the Hessian of harmonic functions or diffusion semigroups. This generalizes an earlier ...

Translation of the abstract (English)

In this thesis we extend well-known procedures using martingale methods to derive stochastic representations of the gradient of heat (or, more generally, diffusion) semigroups on Riemannian manifolds to the case of second derivatives.

We first obtain non-intrinsic representation formulae of 'Bismut type' for the Hessian of harmonic functions or diffusion semigroups. This generalizes an earlier result of Elworthy and Li from 1994.

Applying a commutation formula (Arnaudon and Thalmaier, 2002) for the stochastic and the covariant differentials of the Dohrn Guerra transport along the paths of a Brownian motion on the manifold, we are able to obtain an intrinsic version by 'filtering out redundant noise'. This means we are given a representation that depends on curvature expressions and the driving diffusion itself, but not on the coefficients of the related stochastic differential equation.

As first applications, we transfer gradient estimates of Thalmaier and Wang to the case of the Hessian. Moreover, we give a method to derive better estimates if the manifold is rotationally symmetric.

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