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- URN zum Zitieren dieses Dokuments:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-160315
- DOI zum Zitieren dieses Dokuments:
- 10.5283/epub.16031
| Dokumentenart: | Hochschulschrift der Universität Regensburg (Dissertation) |
|---|---|
| Open Access Art: | Primärpublikation |
| Seitenanzahl: | 213 |
| Datum: | 30 Juli 2010 |
| Begutachter (Erstgutachter): | Prof. Dr. Tilo Wettig und Prof. Dr. Andreas Schäfer |
| Tag der Prüfung: | 22 Juli 2010 |
| Institutionen: | Physik > Institut für Theoretische Physik > Lehrstuhl Professor Braun > Arbeitsgruppe Tilo Wettig |
| Themenverbund: | Nicht ausgewählt |
| Stichwörter / Keywords: | lattice gauge field theories, large N, random matrix theory, entanglement entropy |
| Dewey-Dezimal-Klassifikation: | 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik |
| Status: | Veröffentlicht |
| Begutachtet: | Ja, diese Version wurde begutachtet |
| An der Universität Regensburg entstanden: | Ja |
| Dokumenten-ID: | 16031 |
Zusammenfassung (Englisch)
Durhuus and Olesen discovered in 1981 that the infinite-N limit of the eigenvalue density of Wilson loops in SU(N) pure gauge theory in two Euclidean dimensions undergoes a phase transition at a critical size of the loop, where a gap in the eigenvalue density closes. A similar behavior occurs also in higher dimensions and the transition seems to have universal properties. In the first part of ...
Zusammenfassung (Englisch)
Durhuus and Olesen discovered in 1981 that the infinite-N limit of the eigenvalue density of Wilson loops in SU(N) pure gauge theory in two Euclidean dimensions undergoes a phase transition at a critical size of the loop, where a gap in the eigenvalue density closes. A similar behavior occurs also in higher dimensions and the transition seems to have universal properties. In the first part of this thesis, we focus on the distribution of the eigenvalues of the unitary Wilson loop matrix in the two-dimensional case at arbitrary finite N. To characterize the distribution of the eigenvalues, we introduce three density functions (the „symmetric“, the „antisymmetric“, and the „true“ eigenvalue density) which differ at finite N but possess the same infinite-N limit, exhibiting the Durhuus-Olesen phase transition. These densities are related to the average of the characteristic polynomial, the average of the inverse of the characteristic polynomial, and the average of the ratio of characteristic polynomials at different arguments. Using expansions of determinants and inverse determinants in characters of totally symmetric or totally antisymmetric representations of SU(N), the densities at finite N can be expressed in terms of simple sums involving only dimensions and quadratic Casimir invariants of certain irreducible representations of SU(N), allowing for a numerical computation of the densities at arbitrary N to any desired accuracy. We find that the true eigenvalue density, adding N oscillations to the monotonic symmetric density, is in some sense intermediate between the symmetric and the antisymmetric density, which in turn is given by a sum of N delta peaks located at the zeros of the average of the characteristic polynomial. Furthermore, we show that the dependence on N can be made explicit by deriving integral representations for the resolvents associated to the three eigenvalue densities. Using saddle-point approximations, we confirm that all three densities reduce to the Durhuus-Olesen result in the infinite-N limit.
In the second part, we study an exponential form of the multiplicative random complex matrix model introduced by Gudowska-Nowak et al. Varying a parameter which can be identified with the area of the Wilson loop in the unitary case, the region of non-vanishing eigenvalue density of the N-dimensional complex product matrix undergoes a topological change at a transition point in the infinite-N limit. For the complex model, eigenvalues are no longer confined to the unit circle, they spread out on a fattened arc in the complex plane. At the transition point, the domain of non-zero surface eigenvalue density becomes multiply connected (below the transition point, it is simply connected). We study the transition by a detailed analysis of the average of the modulus square of the characteristic polynomial. Supported by results of high-statistics numerical simulations, we observe that the boundary of the domain of non-zero eigenvalue density follows from the stability properties of a trivial saddle point of a multi-dimensional integral representation. Furthermore, the basic complex matrix model is generalized by introducing extra parameters in the probability distributions of the individual matrix factors allowing for a smooth interpolation between the original model and the two extreme cases where the factors in the product are Hermitian or unitary. Although the shape of the domain of non-vanishing infinite-N eigenvalue density is modified, the generalized model always leads to a transition in the topology of this domain. This transition can be viewed as a natural generalization of the Durhuus-Olesen transition occurring in the unitary case.
In the last part of this thesis, we present a numerical study of the entanglement entropy which is obtained by tracing out the degrees of freedom residing inside an imaginary sphere for a free massless scalar field in four-dimensional Euclidean spacetime. Since existing analytical calculations of subleading terms to the area law rely on some non-trivial assumptions (e.g., the replica trick), we have determined the next order correction, a logarithmic term which might be universal, by numerical means. Using the regularization introduced by Srednicki, we find numerically that the coefficient of the logarithm is -1/90 to 0.2 percent accuracy. This is in agreement with an existing analytical result.
Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)
Durhuus und Olesen entdeckten im Jahr 1981 einen Phasenübergang in der Eigenwertdichte von Wilson-Loops in reiner SU(N) Eichtheorie in zwei euklidischen Dimensionen im Limes N gegen Unendlich (für eine kritische Fläche verschwindet eine Lücke im Eigenwertspektrum). Dieser Übergang tritt in ähnlicher Form auch in höheren Dimensionen auf und scheint universelle Eigenschaften aufzuweisen. Im ersten ...
Übersetzung der Zusammenfassung (Deutsch)
Durhuus und Olesen entdeckten im Jahr 1981 einen Phasenübergang in der Eigenwertdichte von Wilson-Loops in reiner SU(N) Eichtheorie in zwei euklidischen Dimensionen im Limes N gegen Unendlich (für eine kritische Fläche verschwindet eine Lücke im Eigenwertspektrum). Dieser Übergang tritt in ähnlicher Form auch in höheren Dimensionen auf und scheint universelle Eigenschaften aufzuweisen. Im ersten Teil dieser Arbeit wird die Eigenwertverteilung der unitären Wilson-Loop-Matrix für beliebige endliche Werte von N im zweidimensionalen Fall untersucht. Zur Charakterisierung der Verteilung der Eigenwerte werden drei Dichtefunktionen verwendet (die „symmetrische“, die „antisymmetrische“ und die „echte“ Eigenwertdichte), die für endliches N voneinander verschieden sind, aber den gleichen Grenzwert für N gegen Unendlich besitzen, welcher den Durhuus-Olesen-Phasenübergang aufweist. Diese Dichtefunktionen sind verknüpft mit dem Erwartungswert des charakteristischen Polynoms, dem Erwartungswert des inversen charakteristischen Polynoms und dem Erwartungswert des Verhältnisses von charakteristischen Polynomen mit unterschiedlichen Argumenten. Mithilfe der Entwicklungen von Determinanten und inversen Determinanten in Charakteren von total symmetrischen bzw. total antisymmetrischen Darstellungen von SU(N) können die Dichtefunktionen für endliches N durch einfache Summen ausgedrückt werden, welche nur Dimensionen und quadratische Casimir-Invarianten bestimmter irreduzibler Darstellungen von SU(N) enthalten, was schließlich eine numerische Berechnung der Dichtefunktionen mit beliebiger Genauigkeit ermöglicht. Wir stellen fest, dass die echte Eigenwertdichte, die sich von der monotonen symmetrischen Eigenwertdichte durch N Oszillationen unterscheidet, in gewisser Weise zwischen der symmetrischen und der antisymmetrischen Eigenwertdichte interpoliert, welche wiederum durch eine Summe von N Deltafunktionen gegeben ist, deren Positionen durch die Nullstellen des Mittelwertes des charakteristischen Polynoms bestimmt werden. Außerdem zeigen wir, wie die explizite Abhängigkeit von N durch Integraldarstellungen der entsprechenden Resolventen der drei Dichtefunktionen erhalten werden kann. Wir bestätigen, mithilfe von Sattelpunktsnäherungen, dass alle drei Funktionen das bekannte Ergebnis von Durhuus und Olesen im Limes N gegen Unendlich reproduzieren.
Gegenstand des zweiten Teiles ist die Analyse einer exponentiellen Variante des multiplikativen Zufallsmatrixmodells komplexer Matrizen von Gudowska-Nowak et al. Für einen kritischen Wert eines Parameters, welcher im unitären Fall mit der Fläche des Wilson-Loops identifiziert werden kann, weist das Gebiet nicht-verschwindender Eigenwertdichte der N-dimensionalen Produktmatrix einen topologischen Phasenübergang im Grenzwert N gegen Unendlich auf. Im komplexen Modell ist die Lage der Eigenwerte nicht länger auf den Einheitskreis beschränkt, sie breiten sich stattdessen auf einem verbreiterten Bogen in der komplexen Ebene aus. Am Übergangspunkt wird das Gebiet nicht-verschwindender Eigenwertdichte mehrfach zusammenhängend (vor dem Übergang ist dieses Gebiet einfach zusammenhängend). Dieser Übergang wird durch eine detaillierte Analyse des Erwartungswertes des quadrierten Absolutbetrages des charakteristischen Polynoms untersucht. Unterstützt durch Ergebnisse numerischer Simulationen mit hoher Statistik beobachten wir, dass der Rand des Gebietes nicht-verschwindender Eigenwertdichte aus den Stabilitätseigenschaften eines trivialen Sattelpunktes einer hochdimensionalen Integraldarstellung abgeleitet werden kann. Außerdem untersuchen wir eine Verallgemeinerung des ursprünglichen multiplikativen Zufallsmatrixmodells (durch Einführung zusätzlicher Parameter in der Wahrscheinlichkeitsverteilung der einzelnen matrixwertigen Faktoren), was eine kontinuierliche Interpolation zwischen dem ursprünglichen Modell und den beiden Extremfällen unitärer oder hermitescher Faktoren ermöglicht. Obwohl die Form des Gebietes nicht-verschwindender Eigenwertdichte modifiziert wird, findet auch für das verallgemeinerte Modell stets ein Übergang in der Topologie dieses Gebietes statt. Dieser Übergang kann als natürliche Verallgemeinerung des Durhuus-Olesen Übergangs des unitären Falles betrachtet werden.
Im letzten Teil dieser Arbeit wird die numerische Berechnung der Verschränkungsentropie präsentiert, welche durch Ausintegrieren der Freiheitsgrade innerhalb einer imaginären Kugel für ein freies, masseloses Skalarfeld in der vierdimensionalen euklidischen Raumzeit hervorgerufen wird. Weil existierende analytische Berechnungen von Korrekturtermen zum Entropie-Flächengesetz auf einigen nicht-trivialen Annahmen basieren (beispielsweise dem Replika Trick), bestimmen wir den logarithmischen Term, welcher universelle Eigenschaften aufweisen könnte, mit numerischen Methoden. Mithilfe der Regularisierung von Srednicki finden wir so, dass der Koeffizient dieses Logarithmuses mit einer Genauigkeit von 0,2 Prozent durch -1/90 gegeben ist. Dieses numerische Ergebnis stimmt mit einem existierenden analytischen Resultat überein.
Metadaten zuletzt geändert: 26 Nov 2020 08:33
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