A field is said to have the Bogomolov property relative to a height function h’ if and only if h’ is either zero or bounded from below by a positive constant for all for all elements in this field. In this thesis we study this property according to canonical heights associated to rational functions introduced by Call and Silverman in 1994. In the first part we will translate known results into the dynamical setting. Then we prove an effective version of a theorem of Baker which states that the Néron-Tate height of an elliptic curve with multiplicative reduction at a finite place v is bounded from below by a positive constant at points which are unramified over v. In the last section of this thesis we give a complete classification of rational functions f defined over the algebraic numbers such that the maximal totally real field has the Bogomolov property relative to the canonical height associated to f.

Ein Körper besitzt die Bogomolov Eigenschaft bezüglich einer Höhenfunktion h’ genau dann, wenn h’ auf Elementen des Körpers entweder verschwindet oder durch eine positive Konstante nach unten beschränkt ist. In dieser Arbeit untersuchen wir diese Eigenschaft bezüglich kanonischer Höhen assoziiert zu rationalen Funktionen, welche 1994 von Call und Silverman eingeführt wurden. Im ersten Teil der Arbeit übertragen wir bekannte Resultate in ein dynamisches Setup. Dann beweisen wir eine effektive Version eines Theorems von Baker, welches aussagt, dass die Néron-Tate Höhe auf einer elliptischen Kurve mit mulitplikativer Reduktion an einer endlichen Stelle v positiv nach unten beschränkt ist für alle Punkte mit beschränkter Verzweigung über v. Im letzten Abschnitt dieser Arbeit geben wir eine vollständige Klassifikation von rationalen Funktionen f, so dass der maximal total reelle Körper die Bogomolov Eigenschaft bezüglich der kanonischen Höhe assoziiert zu f besitzt.