This thesis proposes a generalization of the projected gradient method with variable metric to an abstract Banach space setting. The motivation is the increasing interest in optimization problems posed in a Banach space and the current lack of general, globally convergent optimization methods therefor. Global convergence of the new variable metric projection type (VMPT) method is shown by adapting the assumptions of the finite dimensional setting appropriately using two different norms. Many aspects of the method are discussed, in particular different globalization strategies, the incorporation of second order information leading to Newton and quasi-Newton type methods and an application to proximal gradient methods. Similarities to existing numerical methods are pointed out and the application to a model problem is presented. The application of the new method to a topology optimization problem using a phase field model is discussed in detail. It is shown that the weak conditions for global convergence are satisfied. A semismooth Newton method for the solution of the arising subproblem is presented and local converence is shown on the descrete level. The various numerical results are compared to the literature and to other state-of-the-art solvers, showing the superior performance of the new method. An existing modern time stepping scheme is enhanced by the introduction of adaptively chosen time step sizes, based on the theoretical results of the thesis. Multiple choices for the variable metric are discussed analytically and numerically and a problem specific scaling is derived. Moreover, reasonable choices for the problem parameters such as the stifness tensor interpolation are analyzed. Numerical experiments show that the sensible choice of the mentioned parameters of the topology optimization problem and the numerical method lead to a huge boost in performance. The numerical experiments for the compliant mechanism problem disclose new difficulties for the used phase field model which have to be considered in future modeling.

Eine verallgemeinerung des projizierten Gradientenverfahrens mit variabler Metrik auf ein abstraktes Banachraum Framework wird behandelt. Globale Konvergenz des neuen Verfahrens wird gezeigt, wobei zwei verschiedene Normen in die Voraussetzungen eingehen. Viele Aspekte werden diskutiert, z.B. verschiedene Globalisierungsstrategien und die Einbeziehung von Informationen zweiter Ordnung, welche zu Newton und Quasi-Newton Verfahren führt. Außerdem wird eine Verallgemeinerung auf Proximal-Gradientenverfahren präsentiert. Das neue Verfahren wird auf ein Topologieoptimierungsproblem angewendet, welches mit Hilfe von Phasenfeldern modelliert wird. Zum Lösen des Teilproblems wird ein halbglattes Newton-Verfahren vorgeschlagen, für welches lokale Konvergenz auf dem diskreten Level gezeigt wird. Numerische Ergebnisse und Vergleiche zu bestehenden Verfahren werden präsentiert. Außerdem werden die theoretischen Erkenntnisse dazu verwendet um eine adaptive Zeitschrittweitenwahl für vorhandene Pseudozeitschrittverfahren herzuleiten, welche auf der Amijo-Bedingung basiert. Verschiedene Wahlen für die variable Metrik werden diskutiert und problemspezifische Parameter gewählt, welche die Effizenz des Algorithmus verbessern.