Anomalous transport phenomena have their origin in the chiral anomaly, the anomalous non-conservation of the axial charge, and can arise in systems with chiral fermions. The anomalous transport properties of free fermions are well understood, but little is known about possible corrections to the anomalous transport coefficients that can occur if the fermions are strongly interacting.

The main goal of this thesis is to study anomalous transport effects in media with strongly interacting fermions. In particular, we investigate the Chiral Magnetic Effect (CME) in a Weyl Semimetal (WSM) and the Chiral Separation Effect (CSE) in finite-density Quantum Chromodynamics (QCD).

The recently discovered WSMs are solid state crystals with low-energy excitations that behave like Weyl fermions. The inter-electron interaction in WSMs is typically very strong and non-perturbative calculations are needed to connect theory and experiment. To realistically model an interacting, parity-breaking WSM we use a tight-binding lattice Hamiltonian with Wilson-Dirac fermions. This model features a non-trivial phase diagram and has a phase (Aoki phase/axionic insulator phase) with spontaneously broken CP-symmetry, corresponding to the phase with spontaneously broken chiral symmetry for interacting continuum Dirac fermions. We use a mean-field ansatz to study the CME in spatially modulated magnetic fields and find that it vanishes in the Aoki phase. Moreover, our calculations show that outside of the Aoki phase the electron interaction has only a minor influence on the CME. We observe no enhancement of the magnitude of the CME current.


For our non-perturbative study of the CSE in QCD we use the framework of lattice QCD with overlap fermions. We work in the quenched approximation to avoid the sign problem that comes with introducing a finite chemical potential on the lattice. The overlap operator calls for the evaluation of the sign function of a matrix with a dimension proportional to the volume of the lattice. For reasonably large lattices it is not feasible to compute the matrix sign function exactly and one has to resort to approximation methods. To compute conserved currents for the overlap operator it is necessary to take derivatives of the overlap operator with respect to the U(1) lattice gauge field. Depending on which approximation is used to evaluate the overlap operator it is not always clear how to compute this derivative. We develop and implement a new numerical method to take derivatives of matrix functions. This method makes it possible to calculate the conserved currents of the finite-density overlap operator with high precision and opens the way to explore anomalous transport phenomena on the lattice.

We study the CSE in the confining and deconfining phase of QCD. On very small lattices we observe corrections to the CSE in the phase with broken chiral symmetry, which seem to be of topological origin. For larger lattices we find that in both phases the CSE current is the same as for free fermions.

Anomale Transportphänomene haben ihren Ursprung in der chiralen Anomalie, der anomalen Nichterhaltung der axialen Ladung, und können in Systemen mit chiralen Fermionen auftreten. Die anomalen Transporteigenschaften freier Fermionen sind bereits gut erforscht, aber über mögliche Korrekturen zu den Transportkoeffizienten, die auftreten können wenn die Fermionen stark wechselwirken, ist bisher wenig bekannt.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Erforschung anomaler Transporteffekte in Medien mit stark wechselwirkenden Fermionen. Im Besonderen wird der "Chiral Magnetic Effect" (CME) in einem Weyl Semimetal (WSM) und der "Chiral Separation Effect" (CSE) in der Quantenchromodynamik (QCD) bei endlicher Quarkdichte untersucht.

Die kürzlich entdeckten WSMs sind Festkörper mit niederenergetischen Anregungen, die sich wie Weyl Fermionen verhalten. Die Wechselwirkung zwischen den Elektronen in einem WSM ist typischerweise sehr stark und nicht-perturbative Berechnungen sind notwendig um Theorie und Experiment zu verbinden. Wir benutzen einen "Tight-Binding"-Hamiltonoperator mit Wilson-Dirac Fermionen um ein realistisches Modell eines wechselwirkenden, paritätsverletzenden WSM zu konstruieren. Dieses Modell hat ein nicht-triviales Phasendiagramm und eine Phase (Aoki Phase/Axionischer Isolator Phase) mit spontan gebrochener CP-Symmetrie, entsprechend der Phase mit spontan gebrochener chiraler Symmetrie für wechselwirkende Dirac Fermionen im Kontinuum. Wir verwenden einen "Mean-Field"-Ansatz um den CME in räumlich modulierten magnetischen Feldern zu untersuchen und beobachten, dass der CME in der Aoki Phase verschwindet. Darüber hinaus zeigen unsere Berechnungen, dass außerhalb der Aoki Phase die Wechselwirkung zwischen den Elektronen nur einen geringen Einfluss auf den CME hat. Wir beobachten keine Verstärkung des Betrages des CME-Stromes.

Unsere nicht-perturbative Studie des CSE in der QCD führen wir im Rahmen der Gitter-QCD mit Overlap Fermionen durch. Um das "Sign Problem", das durch das Einführen eines endlichen chemischen Potentials für Quarks auf dem Gitter entsteht, zu vermeiden, arbeiten wir in der "Quenched"-Näherung. Der Overlapoperator macht es notwendig die Vorzeichenfunktion einer Matrix mit einer Dimension proportional zum Volumen des Gitters zu berechnen. Für Gitter mit realistischem Volumen ist es nicht möglich die Vorzeichenfunktion exakt zu berechnen und man ist auf Näherungsmethoden angewiesen. Um den erhaltenen Strom für den Overlapoperator zu ermitteln, ist es notwendig Ableitungen des Overlapoperators nach dem U(1) Gittereichfeld zu berechnen. Abhängig davon welche Näherungsmethode zur Berechnung der Vorzeichenfunktion benutzt wurde, ist nicht immer klar wie diese Ableitung bestimmt werden kann. Wir entwickeln eine neue numerische Methode zur Ableitung von Funktionen von Matrizen. Diese Methode erlaubt es den erhaltenen Strom für den Overlapoperator bei endlicher Dichte mit großer Präzision zu berechnen und ermöglicht es anomale Transportphänomene auf dem Gitter zu erforschen.

Wir untersuchen den CSE in der "Confinement"- und der "Deconfinement"-Phase der QCD. Auf kleinen Gittern beobachten wir Korrekturen zum CSE in der Phase mit gebrochener chiraler Symmetrie, die scheinbar einen topologischen Ursprung haben. Auf größeren Gittern ist der CSE-Strom in beiden Phasen identisch zu dem Strom für freie Fermionen.