We provide a detailed mathematical analysis of a model for lipid raft formation in cell membranes which was recently proposed by Garcke, Rätz, Röger and the author. Lipid rafts are domains of a specific molecule composition (mostly saturated lipids and cholesterols) in biological membranes.

In principle, the proposed model is a phase-field model describing phase separation between saturated and unsaturated lipids. Additionally, the model is based the assumption that active transport processes of cholesterols into and out of the membrane influence the phase separation within the membrane, due to a high affinity between cholesterols and saturated lipids. As such, the model takes the form of an extended Cahn-Hilliard equation which contains additional terms to account for the cholesterol transport.

We prove results on the existence and regularity of solutions, their long-time behaviour, and on the existence of stationary solutions. Moreover, we investigate three different asymptotic regimes. The first two are connected to model parameters: We study the case of large cytosolic diffusion and investigate the effect of a infinitely large affinity between cholesterols and saturated lipids. The third is a detailed analysis of the sharp-interface limit of the phase-field model.

The first case leads to the reduction of coupled bulk-surface equations in the lipid raft model to a system of surface equations with non-local contributions. Subsequently, we recover the well-known Ohta-Kawasaki equations as the limit for infinitely large affinity between cholesterols and saturated lipids.
We prove the convergence of solutions of the lipid raft model to weak solutions of the sharp-interface limit in the sense of varifolds. Finally, we directly prove the existence of weak solutions to the sharp-interface limit.

Diese Arbeit bietet eine detaillierte mathematische Anaylse für ein Modell zur Bildung von so genannten Lipid Rafts (dt.: Lipidflöße), das kürzlich von Garcke, Rätz, Röger und dem Autor vorgeschlagen wurde. Bei Lipid Rafts handelt es sich um Gebiete mit einer spezifischen molekularen Zusammensetzung (größtenteils Cholesterol und gesättigte Lipide) in Zellmembranen.
Grundsätzlich handelt es sich um ein Phasenfeldmodell zur Beschreibung der Phasentrennung zwischen gesättigten und ungesättigten Lipiden. Zusätzlich beruht das Modell auf der Annahme, dass wegen der starken Bindung zwischen Cholesterol und gesättigten Lipiden ein aktiver Cholesteroltransport in und aus der Membran die Phasentrennung innerhalb der Membran beinflusst. Dementsprechend handelt es sich bei dem Modell um ein erweitertes Cahn-Hilliard System, das um Terme ergänzt wird die den Cholesteroltransport modellieren.

Wir beweisen Resultate zur Existenz und Regularität von Lösungen, zum Langzeitverhalten und zur Existenz stationärer Lösungen. Außerdem untersuchen wir das asymptotische Verhalten in drei unterscheiedlichen Fällen. Die ersten beiden sind mit Modellierungsparametern verknüpft:
Wir studieren große Diffusionskonstanten im Cytosol und untersuchen die Auswirkungen von infinitesimal großer Bindung zwischen Cholesterol und gesättigten Lipiden. Der dritte Fall betrifft den scharfen Interface Limes des Phasenfeldmodells.

Im ersten Fall erhalten wir ein reduziertes Modell, in dem die gekoppelten Gleichungen auf der Oberfläche und im Inneren durch Oberflächengleichungen mit nicht lokalen Anteilen ersetzt wurden. Anschließend erhalten wir im Grenzwert für unendlich große Bindung zwischen Cholesterol und gesättigten Lipiden die bekannten Ohta-Kawasaki Gleichungen.
Wir beweisen die Konvergenz von Lösungen des Lipid Raft Modells gegen schwachen Lösungen des scharfen Interface Limes. Die Grenzfläche wird dabei als Varigfaltigkeit formuliert. Schließlich zeigen wir die Exstenz von Lösungen des scharfen Interface Limes mit Hilfe einer direkten Methode.