A comparison of the real and non-archimedean Monge-Ampère operator

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	9 September 2020
Referee:	Prof. Dr. Walter Gubler
Date of exam:	16 July 2020
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Walter Gubler
Projects (Historical):	SFB 1085 "Higher Invariants"
Keywords:	Monge-Ampère operator, Berkovich spaces, Metrics, Tropical geometry
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	43513

Abstract (English)

Let X be a proper algebraic variety over a non-archimedean, non-trivially valued field and L a line bundle on X. Given an algebraic model of L, a continuous semipositive metric on L^an induces a metric on the trivial line bundle which corresponds to a continuous function on X^an. If the model of L is defined on a strongly nondegenerate strictly polystable formal model of X^an, this function is ...

Abstract (English)

Let X be a proper algebraic variety over a non-archimedean, non-trivially valued field and L a line bundle on X. Given an algebraic model of L, a continuous semipositive metric on
L^an induces a metric on the trivial line bundle which corresponds to a continuous function on X^an. If the model of L is defined on a strongly nondegenerate strictly polystable
formal model of X^an, this function is convex on the faces of the corresponding skeleton. We show that if it additionally factorizes through the skeleton then on the maximal dimensional open faces its real Monge-Ampère measure is equal to the non-archimedean Monge-Ampère measure of the metric we started with up to multiplication by a constant. In order to prove this we generalize the definition of the non-archimedean Monge-Ampère measure from analytifications of proper algebraic varieties to a broader class of analytic spaces. It is then possible to formulate and prove the desired result locally by starting with a convex function on a maximal dimensional open face of some skeleton of X^an. As an application we can transfer regularity results for solutions of the real Monge-Ampère problem to the non-archimedean situation.
In an appendix we examine an example which in the archimedean setting led to the insight that nef line bundles need not carry smooth semipositive metrics. We show that
the non-archimedean analogue, which was a promising candidate for a similar result, does admit a semipositive metric in the sense of Zhang.

Translation of the abstract (German)

Sei X eine eigentliche algebraische Varietät über einem nicht-archimedischen, nicht-trivial bewerteten Körper und L ein Geradenbündel über X. Für ein gegebenes algebraisches Modell von L induziert eine stetige semipositive Metrik auf L^an eine Metrik auf dem trivialen Geradenbündel, welche mit einer stetigen Funktion auf X^an identifiziert werden kann. Falls das Modell von L über einem stark ...

Translation of the abstract (German)

Sei X eine eigentliche algebraische Varietät über einem nicht-archimedischen, nicht-trivial bewerteten Körper und L ein Geradenbündel über X. Für ein gegebenes algebraisches Modell von L induziert eine stetige semipositive Metrik auf L^an eine Metrik auf dem trivialen Geradenbündel, welche mit einer stetigen Funktion auf X^an identifiziert werden kann. Falls das Modell von L über einem stark nicht entartet strikt polystabilen formalen Modell von X^an definiert ist, so ist diese Funktion konvex auf den Flächen des zugehörigen Skeletts. Wir zeigen, dass, falls sie zusätzlich durch das Skelett faktorisiert, ihr reelles Monge-Ampère Maß auf den maximal dimensionalen Flächen dem nicht-archimedischen Monge-Ampère Maß der Metrik, mit der wir gestartet sind, bis auf Multiplikation mit einer Konstanten entspricht. Um das zu beweisen, verallgemeinern wir die Definition des nicht-archimedischen Monge-Ampère Maßes von Analytifizierungen eigentlicher algebraischer Varietäten zu einer breiteren Klasse analytischer Räume. Es ist dann möglich, das gewünschte Resultat lokal zu formulieren, indem man mit einer konvexen Funktion auf einer maximal dimensionalen offenen Fläche eines Skeletts von X^an startet. Als Anwendung können wir Resultate über die Regularität von Lösungen der reellen Monge-Ampère Gleichung auf die nicht-archimedische Situation übertragen.
In einem Anhang untersuchen wir ein Beispiel, welches in der archimedischen Situation zu der Erkenntnis geführt hat, dass numerisch effektive Geradenbündel nicht zwangsläufig eine glatte semipositive Metrik tragen. Wir zeigen, dass das nicht-archimedische Analogon, welches ein vielversprechender Kandidat für ein ähnliches Resultat war, eine semipositive Metrik im Sinne von Zhang zulässt.

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