Extended skeletons of poly-stable pairs

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Date:	13 July 2021
Referee:	Prof. Dr. Walter Gubler
Date of exam:	24 June 2021
Institutions:	Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Walter Gubler
Keywords:	Non-archimedean geometry; Skeletons; Dual intersection complexes
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	46305

Abstract (English)

We introduce the notion of poly-stability for pairs of formal schemes over the valuation ring of a non-archimedean field. Moreover we associate to the pair of special fibers a certain stratification via normality loci. For poly-stable pairs we also define and investigate the dual intersection complex, which roughly speaking is a polyhedral complex reflecting the intersection behavior of the ...

Abstract (English)

We introduce the notion of poly-stability for pairs of formal schemes over the valuation ring of a non-archimedean field. Moreover we associate to the pair of special fibers a certain stratification via normality loci.

For poly-stable pairs we also define and investigate the dual intersection complex, which roughly speaking is a polyhedral complex reflecting the intersection behavior of the irreducible components of the special fibers. This fundamentally involves the stratification and we establish a correspondence between the strata and the faces of the dual intersection complex.

After giving a brief overview of the classical construction of skeletons in the sense of Berkovich, we proceed to develop the so called extended skeleton via an approximation process using the classical case. This is essentially a generalization of a construction by Gubler-Rabinoff-Werner from the strictly semi-stable case to the arbitrary poly-stable case. It is shown that the extended skeleton is a closed subset of the generic fiber and comes naturally with a deformation retraction. Furthermore we prove that the extended skeleton is canonically homeomorphic to the dual intersection complex respecting the faces.
This work also generalizes the classical construction by Berkovich.

Translation of the abstract (German)

Wir definieren poly-stabile Paare formaler Schemata über dem Bewertungsring eines nicht-archimedischen Körpers. Darüber hinaus führen wir auf den zugehörigen speziellen Fasern eine Stratifizierung ein. Für diese poly-stabilen Paare diskutieren wir den dualen Schnittkomplex, welcher das Schnittverhalten der irreduziblen Komponenten der speziellen Fasern wiederspiegelt. Die Zellen des Komplexes ...

Translation of the abstract (German)

Wir definieren poly-stabile Paare formaler Schemata über dem Bewertungsring eines nicht-archimedischen Körpers. Darüber hinaus führen wir auf den zugehörigen speziellen Fasern eine Stratifizierung ein.

Für diese poly-stabilen Paare diskutieren wir den dualen Schnittkomplex,
welcher das Schnittverhalten der irreduziblen Komponenten der speziellen Fasern wiederspiegelt. Die Zellen des Komplexes korrespondieren dabei zu den Strata.

Wir geben einen Überblick über Berkovichs klassische Konstruktion des Skeletts und erhalten daraus über einen Annäherungsprozess die sogenannten erweiterten Skelette. Dies ist im Wesentlichen eine Verallgemeinerung einer Konstruktion von Gubler-Rabinoff-Werner vom strikt semi-stabilen Fall zum allgemein poly-stabilen Fall. Das erweiterte Skelett ist eine abgeschlossene Teilmenge der generischen Faser und liefert auf kanonische Weise eine Deformationsretraktion. Außerdem zeigen wir, dass das erweiterte Skelett kanonisch homöomorph zum dualen Schnittkomplex ist.
Dies verallgemeinert auch Berkovichs ursprüngliche Konstruktion.

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