| License: Publishing license for publications excluding print on demand (17MB) |
- URN to cite this document:
- urn:nbn:de:bvb:355-epub-521546
- DOI to cite this document:
- 10.5283/epub.52154
| Item type: | Thesis of the University of Regensburg (PhD) |
|---|---|
| Date: | 14 April 2022 |
| Referee: | Prof. Dr. Luise Blank |
| Date of exam: | 17 March 2022 |
| Institutions: | Mathematics Mathematics > Prof. Dr. Luise Blank |
| Keywords: | quasilinear parabolic equation, Allen-Cahn equation, anisotropy, optimal control, optimality conditions, implicit discretization, convergence analysis, regularization, preconditioning |
| Dewey Decimal Classification: | 500 Science > 510 Mathematics |
| Status: | Published |
| Refereed: | Yes, this version has been refereed |
| Created at the University of Regensburg: | Yes |
| Item ID: | 52154 |
Abstract (English)
This thesis is concerned with the solution of an optimal control problem governed by an anisotropic Allen-Cahn equation as a model for, e.g., crystal growth. The first part treats the analytical existence theory and first order optimality conditions of the in time continuous and of the time discretized versions. The state equation is discretized implicitly in time with piecewise constant ...
Abstract (English)
This thesis is concerned with the solution of an optimal control problem governed by an anisotropic Allen-Cahn equation as a model for, e.g., crystal growth.
The first part treats the analytical existence theory and first order optimality conditions of the in time continuous and of the time discretized versions. The state equation is discretized implicitly in time with piecewise constant functions. To this end, we consider a more general quasilinear parabolic equation, where the quasilinear term is strongly monotone and obeys a certain growth condition while the lower order term is potentially non-monotone. The existence of the control-to-state operator and its Lipschitz continuity is shown for the time discretized as well as for the time continuous problem. Then we present for both the existence of global minimizers as well as the convergence of a subsequence of time discrete optimal controls to a global minimizer of the time continuous problem. The results hold in arbitrary space dimensions. Under some further restrictions we are able to show Fréchet differentiability of the in time discretized problem and use this to rigorously set up the first order conditions. For this the anisotropies are required to be smooth enough, which in this thesis is achieved by a suitable regularization. Therefore, the convergence behavior of the optimal controls are studied for a sequence of (smooth) approximations of the former quasilinear term. In addition the simultaneous limit in the approximation and the time step size is considered. For a class covering a large variety of anisotropies we introduce a certain regularization and show the previously formulated requirements. Finally, we will show that the results cannot be straightforwardly transferred to a semi-implicit discretization scheme.
In the second part a trust region Newton method is presented, that eventually is used to numerically solve the optimal control problem. Different ways of preconditioning the involved Steihaug-CG solver are discussed and the limits of existing approaches in the present case are worked out. Then, several aspects of the implementation are examined, like the solver for the appearing partial differential equations, parallelization and the utility of adaptive meshes in the context of the control problem.
In the final part, various numerical results based on the previously mentioned choice of anisotropies are presented. These include convergence with respect to the regularization parameter, numerical evidence for mesh independent behavior and a thorough discussion of the simulation in several relevant settings. We concentrate on two choices for the anisotropies and in addition include the isotropic case for comparison. Among others, crystal formation and topology changes are addressed and we see that the algorithm is able to handle these. Furthermore, the behavior of various quantities over the course of the algorithm is investigated. Here we observe that the number of Steihaug steps, and therefore the execution time per trust region step, growths considerably towards the end of the algorithm. Finally, we look at the impact of some implementational aspects with respect to execution speed. We observe that the implicit and semi-implicit approaches perform comparably fast if the implementation is suitably optimized. We however conclude that the implicit approach is preferable since it is less sensitive with respect to the regularization and is supported by more theoretical results.
Translation of the abstract (German)
In dieser Arbeit wird die Lösung eines Optimalsteuerungsproblems behandelt, welches eine anisotrope Allen-Cahn Gleichung als Modell für beispielsweise Kristallwachstum enthält. Der erste Teil befasst sich mit der analytischen Existenztheorie und den Optimalitätsbedingungen erster Ordnung der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Versionen. Die Zustandsgleichung wird implizit in der Zeit mit ...
Translation of the abstract (German)
In dieser Arbeit wird die Lösung eines Optimalsteuerungsproblems behandelt, welches eine anisotrope Allen-Cahn Gleichung als Modell für beispielsweise Kristallwachstum enthält. Der erste Teil befasst sich mit der analytischen Existenztheorie und den Optimalitätsbedingungen erster Ordnung der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Versionen. Die Zustandsgleichung wird implizit in der Zeit mit stückweise konstanten Funktionen diskretisiert. Dazu betrachten wir eine allgemeinere quasilineare parabolische Gleichung, bei welcher der quasilineare Term stark monoton ist und einer bestimmten Wachstumsbedingung gehorcht, während der Term niedrigerer Ordnung nicht unbedingt monoton ist. Die Existenz des Steuerungs-Zustands-Operators sowie dessen Lipschitz-Stetigkeit wird sowohl für das zeitdiskretisierte als auch für das zeitkontinuierliche Problem bewiesen. Anschließend zeigen wir sowohl die Existenz von globalen Minimierern als auch die Konvergenz einer Teilfolge von zeitdiskreten optimalen Steuerungen gegen einen globalen Minimierer des zeitkontinuierlichen Problems. Die Ergebnisse gelten für beliebige Raumdimensionen. Unter einigen zusätzlichen Einschränkungen sind wir in der Lage die Fréchet-Differenzierbarkeit des zeitdiskretisierten Problems zu zeigen und nutzen dies um die Bedingungen erster Ordnung rigoros aufzustellen. Hierfür müssen die Anisotropien glatt genug sein, was in dieser Arbeit durch eine geeignete Regularisierung sichergestellt wird. Daher wird das Konvergenzverhalten der optimalen Steuerungen für eine Folge von (glatten) Approximationen des ursprünglichen quasilinearen Terms untersucht. Zusätzlich wird der gleichzeitige Limes der Approximation und der Zeitschrittweite behandelt. Für eine Klasse, welche eine große Vielfalt an Anisotropien abdeckt, führen wir eine spezifische Regularisierung ein und zeigen die zuvor formulierten Voraussetzungen. Schließlich werden wir zeigen, dass die Ergebnisse nicht ohne Weiteres auf ein semi-implizites Diskretisierungsschema übertragen werden können.
Im zweiten Teil wird ein Trust-Region-Newton-Verfahren vorgestellt, das schließlich verwendet wird die numerische Lösung des optimalen Steuerungsproblems zu berechnen. Auf verschiedene Möglichkeiten der Vorkonditionierung des beteiligten Steihaug-CG-Lösers wird eingegangen und die Grenzen vorhandener Ansätze im vorliegenden Fall werden herausgearbeitet. Dann werden mehrere Aspekte der Implementierung beleuchtet, wie der Löser für die auftretenden partiellen Differentialgleichungen, Parallelisierung und der Nutzen von adaptiven Gittern im Zusammenhang mit dem Steuerungsproblem.
Im letzten Teil werden verschiedene numerische Ergebnisse präsentiert, die auf der zuvor erwähnten Wahl der Anisotropien basieren. Dazu gehören Konvergenz in Bezug auf den Regularisierungsparameter, numerische Evidenz für netzunabhängiges Verhalten und eine ausführliche Diskussion der Simulation in verschiedenen relevanten Situationen. Wir konzentrieren uns auf zwei Möglichkeiten für die Anisotropien und ergänzen zum Vergleich auch den isotropen Fall. Unter anderem werden die Kristallbildung und Topologieänderungen behandelt und wir werden sehen, dass der Algorithmus in der Lage ist diese zu bewältigen. Weiterhin wird das Verhalten verschiedener Größen im Verlauf des Algorithmus untersucht. Hier beobachten wir, dass die Anzahl der Steihaug-Schritte und damit die Ausführungszeit pro Trust-Region-Schritt, zum Ende des Algorithmus hin erheblich ansteigt. Schließlich betrachten wir die Auswirkungen einiger Implementierungsaspekte im Hinblick auf die Ausführungsgeschwindigkeit. Wir stellen fest, dass die impliziten und semi-impliziten Ansätze vergleichbar schnell sind, sofern die Implementierung entsprechend optimiert ist. Wir kommen jedoch zu dem Schluss, dass der implizite Ansatz zu bevorzugen ist, da er weniger empfindlich bezüglich der Regularisierung ist und durch mehr theoretische Ergebnisse gestützt wird.
Metadata last modified: 14 Apr 2022 09:18
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