Störstellen auf Hofstadters Schmetterling oder: Zur Greensfunktion des almost-Mathieu Operators

Abstract (German)

Das Problem eines Elektrons in einem zweidimensionalen periodischen Potential mit einem senkrecht dazu angelegten Magnetfeld führt zur almost-Mathieu oder Azbel-Harper Gleichung. Mit ihr ist es möglich, einen effektiven Hamiltonian für das Modellsystem, bekannt als 'almost-Mathieu Operator', aufzustellen. Das Spektrum dieses Operators ist der sogenannte Hofstadter Schmetterling. In dieser Arbeit ...

Abstract (German)

Das Problem eines Elektrons in einem zweidimensionalen periodischen
Potential mit einem senkrecht dazu angelegten Magnetfeld führt zur
almost-Mathieu oder Azbel-Harper Gleichung. Mit ihr ist es möglich,
einen effektiven Hamiltonian für das Modellsystem, bekannt als
'almost-Mathieu Operator', aufzustellen. Das Spektrum dieses Operators
ist der sogenannte Hofstadter Schmetterling.
In dieser Arbeit wird die Greensfunktion des almost-Mathieu Operators
berechnet. Die Diagonalelemente und die Elemente der ersten
Nebendiagonalen können als elliptische Integrale ausgedrückt werden.
Mit diesen Ergebnissen ist es möglich den Einfluß einer Störstelle im
Gitter auf den Hofstadter Schmetterling zu berechnen: Von jedem
nicht entarteten magnetischen Unterband wird genau ein isoliertes
Niveau abgespalten. Die Wellenfunktionen zu diesen Niveaus sind
lokalisiert.
Der Einfluß eines weiteren Fremdatoms im Gitter wird numerisch
bestimmt: Es führt zu je einem weiteren isoliertem Niveau an jedem
Unterband. Bei gleichartigen Störstellen spaltet das eine
Störstellenniveau in zwei auf, diese Aufspaltung nimmt mit dem Abstand
der Fremdatome im Gitter ab.

Translation of the abstract (English)

The problem of an electron in a two-dimensional periodic potential with applied perpendicular magnetic field leads to the almost-Mathieu or Azbel-Harper equation. Hence it is possible to construct an effective Hamiltonian for the system, the so called 'almost-Mathieu operator'. The spectrum of this operator is called Hofstadter's butterfly. In this work the Green's function of the ...

Translation of the abstract (English)

The problem of an electron in a two-dimensional periodic potential with
applied perpendicular magnetic field leads to the almost-Mathieu
or Azbel-Harper equation. Hence it is possible to construct an
effective Hamiltonian for the system, the so called 'almost-Mathieu
operator'. The spectrum of this operator is called Hofstadter's
butterfly.
In this work the Green's function of the almost-Mathieu operator is
calculated. The diagonal elements and the elements of the first
off-diagonal are expressed in terms of elliptic integrals.
With these results it is possible to calculate the influence of
an impurity on Hofstadter's butterfly: Exactly one isolated energy
level is split off every non-degenerate magnetic subband.
The wavefunctions corresponding to these eigenvalues are localized.
The effect of a second impurity in the lattice is calculated
numerically: One additional isolated energy level is split off every
magnetic subband. If the two impurities are of the same kind,
the isolated energy of one impurity splits in two, the energy
difference decreases with growing distance between the two
impurities on the lattice.

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