Bilder von zweidimensionalen Galoisdarstellungen zu Motiven mit Koeffizienten in einem Zahlkörper E

Abstract (German)

Sei M ein zweidimensionales Grothendieck-Motiv über einem Zahlkörper K mit Koeffizienten in einem Zahlkörper E und sei $(phi_{lambda}: G_K ightarrow Aut(H_{lambda}(M)) )_{lambda}$ das System der zweidimensionalen $lambda$-adischen Galoisdarstellungen von M. Für unsere Ergebnisse setzen wir voraus, daß das System der Determinanten $(det circ phi_{lambda})_{lambda}$ gleich dem System der d-ten ...

Abstract (German)

Sei M ein zweidimensionales Grothendieck-Motiv über einem Zahlkörper K mit Koeffizienten in einem Zahlkörper E und sei $(phi_{lambda}: G_K ightarrow Aut(H_{lambda}(M)) )_{lambda}$ das System der zweidimensionalen $lambda$ -adischen Galoisdarstellungen von M. Für unsere Ergebnisse setzen wir voraus, daß das System der Determinanten $(det circ phi_{lambda})_{lambda}$ gleich dem System der d-ten Potenzen der Zyklotomischen Charaktere $(chi_{cyc,lambda}^d)_{lambda}$ ist (mit $d in Z$ ), was beispielsweise immer der Fall ist, wenn E total reell und das System nicht abelsch ist. Wir zeigen, daß entweder nach einer endlichen Körpererweiterung die Verhalbeinfachung des Systems abelsch wird (d.h. durch algebraische Heckecharaktere gegeben wird) oder nach einer endlichen Körpererweiterung vom Exponenten 2 für fast alle Primzahlen $ell$ das Bild $phi_{ell}(G_K):= (prod _{lambda | ell} phi_{lambda})(G_K)$ zu $B^F_{ell}:= { A in prod _{lambda | ell} GL_2({cal O}^F_{lambda}) | det (A) in {Z _{ell}^*}^d }$ konjugiert ist (dabei sei ${cal O}^F_{lambda}$ der Ring der ganzen Zahlen des stabilen Frobeniuskörpers F des Systems). Wir erhalten auch eine adelische Version dieser Aussage. Außerdem zeigen wir, daß für jedes $ell$ die zum Bild $phi_{ell}(G_K)$ gehörige $ell$ -adische Liealgebra im Fall $d ot= 0$ gleich einer Form der Liealgebra $({frak sl}_2(F) oplus Q ) otimes {Q _ell}$ und im Fall $d=0$ gleich einer Form der Liealgebra ${frak sl}_2(F) otimes {Q _ell}$ ist.

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Let M be a two dimensional Grothendieck motive over a number field K with coefficients in a number field E and let $(phi_{lambda}: G_K ightarrow Aut(H_{lambda}(M)) )_{lambda}$ be the system of the two dimensional $lambda$-adic galois representations of M. We always assume that the system of determinants $(det circ phi_{lambda})_{lambda}$ is equal to the system of the cyclotomic characters to the ...

Translation of the abstract (English)

Let M be a two dimensional Grothendieck motive over a number field K with coefficients in a number field E and let $(phi_{lambda}: G_K ightarrow Aut(H_{lambda}(M)) )_{lambda}$ be the system of the two dimensional $lambda$ -adic galois representations of M. We always assume that the system of determinants $(det circ phi_{lambda})_{lambda}$ is equal to the system of the cyclotomic characters to the d-th power $(chi_{cyc,lambda}^d)_lambda$ (where $d in Z$ ). If E is totally real and the system ist not abelian, this is always the case. We show that either after a finite base change the semisimplification of the system becomes abelian (i.e. is given by algebraic hecke characters) or after a finite base change of exponent 2, for almost all prime numbers $ell$ the image $phi_{ell}(G_K):= (prod _{lambda | ell} phi_{lambda})(G_K)$ and $B^F_{ell}:= { A in prod _{lambda | ell} GL_2({cal O}^F_{lambda}) | det (A) in {Z _{ell}^*}^d }$ are conjugate (where ${cal O}^F_{lambda}$ is the ring of integers of the 'stable Frobenius field' F of the system). We also get an adelic version of our result. And we show that for every $ell$ the $ell$ -adic lie algebra of the image $phi_{ell}(G_K)$ is a form of the lie algebra $({frak sl}_2(F) oplus Q ) otimes {Q _ell}$ if $d ot=0$ and is a form of the lie algebra ${frak sl}_2(F) otimes {Q _ell}$ if $d=0$ .

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