The model of a two-level system (TLS) coupled to a harmonic oscillator has found a widespread application in physics and chemistry. In this thesis we focus on the field of circuit quantum electrodynamics where the TLS stands for a quantum bit (qubit), which is the basic building unit of a potential quantum computer, and the oscillator represents a transmission-line resonator, which can be used, e.g., to store information contained on the qubit or for communication between several qubits. Furthermore, the oscillator can model a superconducting quantum interference device (SQUID) determining the state of the qubit.

In first experimental realizations the coupling between the qubit and the oscillator was small compared to characteristic frequencies of the two devices. In such a situation the Jaynes-Cummings model provides a realistic and completely analytical description of the energy spectrum and the dynamics of the setup. However, it relies on a rotating-wave approximation (RWA) which neglects counter-rotating terms in the full qubit-oscillator Hamiltonian. These counter-rotating terms become important under increase of the coupling strength, as it has been achieved in recent experiments. We present two analytical approaches to take these additional contributions into account: The first one treats the qubit-oscillator Hamiltonian perturbatively in the coupling strength and predicts a frequency shift in its energy spectrum, the Bloch-Siegert shift. The second one considers the qubit's tunneling splitting as small parameter and thus treats the problem to all orders in the coupling allowing to enter the ultrastrong coupling regime, where the coupling strength becomes comparable to the qubit's and/or oscillator's frequency. For both cases we give a thorough analysis of the qubit's dynamics.

In order to perform operations the qubit is usually probed by an external driving force. We model this situation by coupling the TLS to a classical oscillator and examine the resulting time dependent Hamiltonian using a combination of Floquet theory and Van Vleck perturbation theory. Thus, we provide an analysis of the qubit's energy spectrum and dynamics which is nonperturbative in the driving amplitude. We investigate effects like coherent destruction of tunneling and driving-inducing tunneling oscillations.

By coupling the driven TLS to a quantized oscillator we give for the first time an analytical treatment of the qubit-oscillator system being simultaneously exposed to both ultrastrong coupling and extreme driving. We observe interesting phenomena in the dynamics like the suppression of specific frequencies under a variation of the coupling strength.

To mimic environmental influences on the qubit we apply the Caldeira-Leggett master equation approach to the driven TLS and to the qubit-oscillator system and provide for both cases analytical expressions for the relaxation and dephasing rates.

Das Zwei-Niveau-Oszillator-Modell findet vielfältige Anwendung sowohl in der Physik als auch in der Chemie. Der Fokus dieser Dissertation liegt auf dem Gebiet der "Circuit-Quantenelektrodynamik". Dabei repräsentiert das Zwei-Niveau-System ein Quantenbit (Qubit), den Grundbaustein für einen potentiellen Quantencomputer, während der Oszillator einen sogenannten "Transmission-line Resonator" darstellt, der z.B. zur Speicherung von Qubitinformation oder als Kommunikationsmittel zwischen mehreren Qubits genutzt werden kann. Darüber hinaus kann der Oszillator einen "Superconducting Quantum Interference Device" (SQUID) beschreiben, der den Zustand des Qubits ausliest.

Frühe experimentelle Verwirklichungen des Systems waren durch eine schwache Kopplung zwischen Qubit und Oszillator charakterisiert. In diesem Fall gibt das Jaynes-Cummings-Modell eine realistische und komplett analytische Beschreibung des Energiespektrums und der Dynamik des Systems. Jedoch beruht es auf einer "Rotating-wave approximation", welche schnell rotierende Terme im Qubit-Oszillator Hamilton-Operator vernachlässigt. Mit einer erhöhten Kopplungsstärke, wie sie in jüngsten Experimenten erzielt werden konnte, gewinnen diese Terme an Gewicht. Wir führen mit dieser Arbeit zwei analytische Ansätze ein, die diese zusätzlichen Beiträge berücksichtigen: Der erste behandelt den Qubit-Oszillator Hamilton-Operator störungstheoretisch in der Kopplungsstärke und sagt eine Frequenzverschiebung im Energiespektrum voraus, der "Bloch-Siegert shift". Der zweite betrachtet dagegen das Tunnelmatrixelement des Qubits als kleine Störung und schließt auf diese Weise alle Ordnungen der Kopplungsstärke ein. Dies erlaubt eine analytische Untersuchung des "ultrastarken Kopplungsregimes", bei dem die Kopplungsstärke vergleichbar mit Qubit- und Oszillatorfrequenz ist. Für beide Vorgehensweisen präsentieren wir eine detaillierte Analyse der Dynamik des Qubits.

Operationen am Qubit werden typischerweise durch einen externen Antrieb bewirkt. Dies wird in unserer Arbeit durch eine Kopplung des Zwei-Niveau Systems an einen klassischen Oszillator modelliert. Wir untersuchen den entsprechenden zeitabhängigen Hamilton-Operator, wobei Floquet-Theorie mit Van-Vleck-Störungstheorie kombiniert wird. Dies ermöglicht eine Auswertung des Qubit-Energiespektrums und der resultierenden Qubitdynamik für beliebig starke Antriebsamplituden. Dabei wird besondere Aufmerksamkeit auf Effekte wie "kohärente Unterdrückung von Tunneln" und "antriebsinduziertes Tunneln" gelegt.

Durch die Kopplung des getriebenen Zwei-Niveau Systems an einen quantisierten Oszillator wird in dieser Arbeit zum ersten Mal der Fall eines Qubit-Oszillator-Systems behandelt, das sowohl ultrastarker Kopplung als auch einem extremen Antrieb unterliegt.

Um Einflüsse der Umgebung auf das Qubit zu berücksichtigen, lösen wir zusätzlich die Caldeira-Leggett-Mastergleichung für das getriebene Zwei-Niveau- und das Qubit-Oszillator-System. Für beide Modelle werden analytische Ausdrücke für die Relaxations- und Dephasierungrate gefunden.