In this thesis we rigorously prove that the Cahn-Larché system converges to a modified Hele-Shaw problem. For the proof we construct an approximate solution of the Cahn-Larché system by the method of matched asymptotic expansions. Then we can show that the approximate solutions of Cahn-Larché system converge to the solution of the modified Hele-Shaw problem.
For the modified Hele-Shaw problem we prove the existence of a classical solution in
a sufficiently small time interval [0;T]. By reducing the system to a single evolution
equation for the distance function, we show the assertion. Furthermore, we prove an
existence result for classical solution to a linearized Hele-Shaw problem used in the
higher order expansions.
By the same methods as for the Cahn-Larché system, we show the sharp interface
limit of a convective Cahn-Hilliard equation to an evolution equation for the interface. Here and for the Cahn-Larché system the main problem is the construction of the approximate solutions.
Finally, we obtain that the surface tension term in the “model H” with mobility constant converging sufficiently fast to 0 does generally not converge to the mean curvature of the interface.

In der vorliegenden Arbeit wird die Konvergenz des Cahn-Larché Systems gegen ein modifiziertes Hele-Shaw Problem rigoros bewiesen. Für den Beweis wird eine Näherungslösung für das Cahn-Larché System mit Hilfe von asymptotischer Analysis konstruiert. Dabei ist es möglich die Konvergenz der Näherungslösung für das Cahn-larché System gegen das modifizierte Hele-Shaw Problem zu zeigen.
Für das modifizierte Hele-Shaw Problem wird die Existenz von einer klassischen Lösung in einem ausreichend kleinem Zeitintervall [0,T] gezeigt. Dies wird durch Reduktion des Gleichungssystems zu einer einzelnen Evolutionsgleichung für die Distanzfunktion bewiesen. Weiter beweisen wir die Existenz von einer klassischen Lösung für ein linearisiertes Hele-Shaw Problem, das in der höheren Entwicklung in der asymptotischen Analysis verwendet wird.
Mit den gleichen Techniken wie für das Cahn-Larché System zeigen wir den scharfen Grenzschichtlimes von einer konvektiven Cahn-Hilliard Gleichung gegen eine Evolutionsgleichung für die Grenzschicht. Hier und für das Cahn-Larché System ist die Konstruktion der Näherungslösung das Hauptproblem.
Abschließend zeigen wir, dass der Oberflächenspannungsterm im „Model H“ im allgemeinem nicht gegen die mittlere Krümmung der Grenzschicht konvergiert, falls die Mobilitätskonstante schnell genug gegen 0 konvergiert.