We consider the problem of shape and topology optimization in fluid mechanics with a general objective functional. A phase field approach is introduced and discussed in terms of well-posedness and first order necessary optimality conditions. The state constraints are either given by the Stokes or the stationary Navier-Stokes equations. We find that minimizers of the diffuse interface setting have a converging subsequence as the interface thickness tends to zero. If this sequence fulfills a certain convergence rate or the total potential power is minimized in a Stokes flow, we obtain that the limit element is a minimizer of the sharp interface formulation. Additionally, we can derive in both, the Stokes and stationary Navier-Stokes setting, optimality conditions of the sharp interface model which can be verified to be the limit of corresponding optimality systems of the phase field model. Finally, we also apply this approach to structural optimization, where we want to find the optimal material distribution of two given elastic materials for a general objective functional. Using the techniques developed before, we can derive convergence results of a phase field approach similar to the fluid mechanical setting and discuss both the diffuse and the sharp interface formulation with regard to well-posedness and necessary optimality conditions.

Wir betrachten das Problem der Form- und Topologieoptimierung in Strömungsmechanik mit einem allgemeinen Zielfunktional. Es wird ein Phasenfeldansatz eingeführt und in Hinsicht auf Wohlgestelltheit und notwendige erste Ordnungsbedingungen diskutiert. Die Zustandsbeschränkungen sind entweder die Stokes oder die stationären Navier-Stokes Gleichungen. Wir erhalten, dass die Folge der Minima des diffusen Grenzschichtmodells eine konvergente Teilfolge falls die Grenzschichtdicke gegen Null konvergiert. Falls diese Folge eine bestimmte Konvergenzrate erfüllt oder die potentielle Energie zusammen mit den Stokes Gleichungen betrachtet wird, erhalten wir, dass der Limes ein Minimum eines scharfen Grenzschicht Problems ist. Zusätzlich können wir, sowohl mit den Navier-Stokes als auch mit den Stokes Gleichungen als Nebenbedingung, Optimalitätsbedingungen für das scharfe Grenzschicht Problem herleiten. Diese können auch als Grenzwert eines entsprechenden Optimalitätssystems des Phasenfeldproblems erhalten werden. Schließlich wenden wir diesen Zugang auch in der Strukturoptimierung an. Hier wollen wir die optimale Materialverteilung zweier gegebener elastischer Materialien finden bzgl. eines allgemeinen Zielfunktionals. Mit den vorher entwickelten Techniken können wir, ähnlich wie im strömungsmechanischen Problem, Konvergenzresultate für ein entsprechendes Phasenfeldproblem zeigen und sowohl das diffuse als auch das scharfe Grenzschichtproblem hinsichtlich Wohlgestelltheit und notwendigen Optimalitätsbedingungen diskutieren.