Dirac eigenvalues of higher multiplicity

Item type:	Thesis of the University of Regensburg (PhD)
Open Access Type:	Primary Publication
Date:	14 January 2015
Referee:	Prof. Dr. Bernd Ammann
Date of exam:	18 December 2014
Institutions:	Mathematics > Prof. Dr. Bernd Ammann
Keywords:	Dirac operator, surgery, dirac spectrum, spin geometry, eigenvalues
Dewey Decimal Classification:	500 Science > 510 Mathematics
Status:	Published
Refereed:	Yes, this version has been refereed
Created at the University of Regensburg:	Yes
Item ID:	31209

Abstract (English)

Let M be a closed spin manifold of dimension at least three with a fixed topological spin structure. For any Riemannian metric, we can construct the associated Dirac operator. The spectrum of this Dirac operator depends on the metric of course. In 2005, Dahl conjectured that M can be given a metric, for which a finite part of the spectrum consists of arbitrarily prescribed eigenvalues of ...

Abstract (English)

Let M be a closed spin manifold of dimension at least three with a fixed topological spin structure. For any Riemannian metric, we can construct the associated Dirac operator. The spectrum of this Dirac operator depends on the metric of course. In 2005, Dahl conjectured that M can be given a metric, for which a finite part of the spectrum consists of arbitrarily prescribed eigenvalues of arbitrary (finite) multiplicity. The only constraints one has to respect are the exception of the zero eigenvalue (due to the Atiyah-Singer index theorem) and in certain dimensions, the quaternionic structure of the eigenspaces and also the symmetry of the spectrum. Dahl also proved his conjecture in case all eigenvalues have simple multiplicities. The question, if one can prescribe arbitrary multiplicities, or if the existence of eigenvalues of higher multiplicity might somehow be topologically obstructed, has been open ever since.

In this thesis, we prove that on any closed spin manifold of dimension m congruent 0, 6, 7 mod 8, there exists a metric for which at least one eigenvalue is of higher multiplicity.

For the proof, we introduce a technique which ''catches'' the desired metric with a loop in the space of all Riemannian metrics. We will construct such a loop on the sphere and transport it to a general manifold by extending some classical surgery theory results by Bär and Dahl. As a preparation, we will show that the Dirac spectrum can be described globally by a continuous family of functions on the space of Riemannian metrics and that the spinor field bundles with respect to the various metrics assemble to a continuous bundle of Hilbert spaces. These results might be useful in their own right.

Translation of the abstract (German)

Sei M eine kompakte Spin–Mannigfaltigkeit der Dimension größergleich drei mit fester topologischer Spin–Struktur. Für jede Riemannsche Metrik erhalten wir einen Dirac-Operator, dessen Spektrum von der Metrik abhängt. Dahl vermutet in einer Arbeit aus dem Jahr 2005, dass M eine Metrik trägt, für die ein endlicher Teil des Dirac–Spektrums aus beliebigen vorgeschriebenen Eigenwerten beliebiger ...

Translation of the abstract (German)

Sei M eine kompakte Spin–Mannigfaltigkeit der Dimension größergleich drei mit fester topologischer Spin–Struktur. Für jede Riemannsche Metrik erhalten wir einen Dirac-Operator, dessen Spektrum von der Metrik abhängt. Dahl vermutet in einer Arbeit aus dem Jahr 2005, dass M eine Metrik trägt, für die ein endlicher Teil des Dirac–Spektrums aus beliebigen vorgeschriebenen Eigenwerten beliebiger Multiplizitäten besteht. Nur der Eigenwert Null kann nicht beliebig vorgeschrieben werden (aufgrund des Atiyah-Singer Indexsatzes). Außerdem muss man in einigen Dimensionen die quaternionische Struktur der Eigenräume und die Symmetrie des Dirac–Spektrums beachten. Dahl beweist seine Vermutung für den Fall einfacher Eigenwerte. Die Frage ob auch Eigenwerte von beliebiger Multiplizität vorgeschrieben werden können oder ob die Existenz von Eigenwerten von höherer Multiplizität nicht möglicherweise topologisch obstruiert sein könnte, ist seit dem offen.

In der vorliegenden Arbeit zeigen wir, dass es auf jeder geschlossenen Spin–Mannigfaltigkeit der Dimension m kongruent 0, 6, 7 mod 8 eine Metrik gibt, sodass der zugehörige Dirac-Operator mindestens einen Eigenwert von höherer Multiplizität besitzt.

Für den Beweis entwickeln wir eine Technik, die die gesuchte Metrik mit einer Schleife im Raum aller Riemannschen Metriken "einfängt". Wir werden eine solche Schleife auf der Sphäre konstruieren und dann auf eine allgemeine Mannigfaltigkeit transportieren. Dazu erweitern wir einige klassische Resultate von Bär und Dahl aus der Chirurgietheorie. Als Vorbereitung werden wir zeigen, dass das Dirac–Spektrum vollständig durch eine stetige Familie von Funktionen auf den Riemannschen Metriken beschrieben werden kann und dass sich die Spinorfelder aller Metriken zu einem stetigen Bündel aus Hilberträumen zusammensetzen lassen. Diese Resultate könnten auch für sich genommen nützlich sein.

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