Relative bounded cohomology for groupoids

Abstract (English)

We introduce bounded cohomology for groupoids and pairs of groupoids. This turns out to be, in particular, an efficient approach to deal with bounded cohomology of groups relative to a family of subgroups. We develop a framework of relative homological algebra to deal with these invariants. Furthermore, we prove a version of Gromov's mapping theorem, relating bounded cohomology of a pair of (not ...

Abstract (English)

We introduce bounded cohomology for groupoids and pairs of groupoids. This turns out to be, in particular, an efficient approach to deal with bounded cohomology of groups relative to a family of subgroups. We develop a framework of relative homological algebra to deal with these invariants. Furthermore, we prove a version of Gromov's mapping theorem, relating bounded cohomology of a pair of (not necessarily connected) topological spaces to bounded cohomology of the pair of fundamental groupoids. We also generalise results about (relative) bounded cohomology of amenable groups to the groupoid setting.

In the final chapter, we discuss uniformly finite (co-)homology, and present some results, for instance about the structure of the uniformly finite homology of amenable groups.

Translation of the abstract (German)

Wir führen beschränkte Kohomologie für Gruppoide und für Paare von Gruppoiden ein. Dies eröffnet insbesondere einen effizienten Zugang zu beschränkter Kohomologie von Gruppen relativ zu einer Familie von Untergruppen. Wir entwickeln einen Rahmen relativer homologischer Algebra um diese Invarianten zu behandeln. Weiter beweisen wir eine Version von Gromovs Abbildungssatz, die die beschränkte ...

Translation of the abstract (German)

Wir führen beschränkte Kohomologie für Gruppoide und für Paare von Gruppoiden ein. Dies eröffnet insbesondere einen effizienten Zugang zu beschränkter Kohomologie von Gruppen relativ zu einer Familie von Untergruppen. Wir entwickeln einen Rahmen relativer homologischer Algebra um diese Invarianten zu behandeln. Weiter beweisen wir eine Version von Gromovs Abbildungssatz, die die beschränkte Kohomologie eines Paares (nicht notwendig zusammenhängender) topologischer Räume in Bezug zur beschränkten Kohomologie der Fundamentalgruppoide setzt. Darüber hinaus verallgemeinern wir Sätze über die (relative) beschränkte Kohomologie von amenablen Gruppen zu Sätzen über Gruppoide.

Im letzten Kapitel behandeln wir gleichmäßig beschränkte (Ko-)Homologie und einige Resultate, zum Beispiel über die Struktur gleichmäßg beschränkter Homologie für amenable Gruppen.

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