In the last decades the theory of pseudodifferential operators was established as an auxiliary tool for solving problems in the field of partial differential equations. However, proving that the inverse of a partial differential operator is a pseudodifferential operator is often difficult. In order to simplify this task, R. Beals and J. Ueberberg developed a characterization of pseudodifferential operators with smooth symbols. In applications also non-smooth pseudodifferential operators occur. Hence such a characterization would be useful for non-smooth pseudodifferential operators, too. Therefore, we show that every linear operator P, which satisfies some specific continuity assumptions, is a non-smooth pseudo-differential operator whose coefficients are in a Hölder space.

With the characterization of non-smooth pseudodifferential operators at hand, we are in the position to verify under suitable conditions the following result: the Lebesgue-spectrum of a non-smooth pseudodifferential operator P, whose coefficient is in a Hölder space, is independent of the chosen Lebesgue Space. With P being continuously invertible as a linear operator on certain Bessel potential spaces, the inverse of P is a non-smooth pseudodifferential operator of the same symbol-class under suitable conditions.

In order to reach these goals we make use of the central ideas of the analogous results from R. Beals and J. Ueberberg in the smooth case. The main new difficulties are the limited mapping properties of pseudodifferential operators with non-smooth symbols.

In den letzten Jahrzehnten etablierte sich die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren als Hilfsmittel zum Lösen von Problemen aus dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen. Hierfür muss überprüft werden, dass der Inverse Operator eines zugehörigen partiellen Differentialoperators ein Pseudodifferentialoperator ist. Zur Vereinfachung dieser Aufgabe entwickelten R. Beals und J. Ueberberg eine Charakterisierung von Pseudodifferentialoperatoren mit glatten Symbolen. In den Anwendungen treten allerdings auch Pseudodifferentialoperatoren mit nicht glatten Symbolen auf. Ein Ziel dieser Arbeit ist es daher eine solche Charakterisierung für nicht glatte Pseudodifferentialoperatoren zu erarbeiten. Es wird gezeigt, dass jeder lineare Operator P, der bestimmte Stetigkeitsbedingungen erfüllt, ein nicht glatter Pseudodifferentialoperator ist, dessen Koeffizienten in einem Hölderraum liegen.

Mit Hilfe dieser Charakterisierung kann unter bestimmten Vorraussetzungen folgendes Ergebnis nachgewiesen werden: Das Lebesgue-Spektrum eines nicht glatten Pseudodifferentialoperators P, dessen Koeffzienten in einem Hölderraum liegen, ist unabhängig von der Wahl des Lebesgue Raumes. Falls P als Operator auf gewissen Besselpotential Räumen stetig invertierbar ist, ist auch der Inverse Operator P ein nicht glatter Pseudodifferentialoperator.

Um diese Ziele zu erreichen, werden die Hauptideen der entsprechenden Ergebnisse von R. Beals und J. Ueberberg für den glatten Fall benutzt. Die neuen Schwierigkeiten, die sich ergeben, resultieren aus den begrenzten Abbildungseigenschaften von Pseudodifferentialoperatoren mit nicht glatten Symbolen.