The topic of the thesis at hand is the massive Dirac equation on certain asymptotically flat, static spacetimes. Using analytical methods for hyperbolic equations, the behaviour of solutions of this equation at infinity of the manifold is analyzed, more precisely at so-called lightlike infinity.
Specifically, it is studied to what extent solutions decay to zero at lightlike infinity.
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Abstract (English)
The topic of the thesis at hand is the massive Dirac equation on certain asymptotically flat, static spacetimes. Using analytical methods for hyperbolic equations, the behaviour of solutions of this equation at infinity of the manifold is analyzed, more precisely at so-called lightlike infinity. Specifically, it is studied to what extent solutions decay to zero at lightlike infinity.
The concrete analysis is restricted to smooth and spatially compactly supported solutions, and is always under the general assumption that the underlying spacetime is static and asymptotically flat. Moreover, it is absolutely essential that the mass in the Dirac equation is nonzero. It is then proved that such solutions decay to zero faster than any inverse power of the outgoing null coordinate as that coordinate tends to infinity.
A particular approach taken in this thesis is to analyze the Dirac equation directly in adapted lightlike coordinates. This immediately leads to methods related to the characteristic initial value problem or Goursat problem for the Dirac equation, and to the use of energy estimates in domains with lightlike boundaries.
The general approach is to proceed by perturbation theoretic arguments, as is suggested by the asymptotic flatness of the underlying spacetime: First the question of decay is addressed in flat Minkowski spacetime, for which the Dirac equation can be solved rather explicitly by Green’s function methods. Building on this, the actual equation is then treated by a perturbation argument. In this argument, energy estimates play a crucial role, especially in form of the so-called conserved current of the Dirac equation.
Translation of the abstract (German)
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die massive Dirac Gleichung auf gewissen statischen, asymptotisch flachen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Mittels analytischer Methoden für hyperbolische Gleichungen wird untersucht, wie sich Lösungen dieser Gleichung im Unendlichen der Mannigfaltigkeit, genauer im lichtartigen Unendlichen, verhalten. Spezieller geht es um die Fragestellung, inwiefern die ...
Translation of the abstract (German)
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die massive Dirac Gleichung auf gewissen statischen, asymptotisch flachen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Mittels analytischer Methoden für hyperbolische Gleichungen wird untersucht, wie sich Lösungen dieser Gleichung im Unendlichen der Mannigfaltigkeit, genauer im lichtartigen Unendlichen, verhalten. Spezieller geht es um die Fragestellung, inwiefern die Amplitude einer Lösung im lichtartigen Unendlichen gegen Null konvergiert.
Die genaue Analyse verläuft unter der Einschränkung auf glatte Lösungen der Dirac Gleichung, deren Träger räumlich kompakt ist, sowie der Annahme, dass die zugrunde liegende Raumzeit statisch und asymptotisch flach ist. Außerdem ist es essentiell, dass die Masse in der Dirac-Gleichung ungleich Null ist. Für solche Lösungen wird dann bewiesen, dass ihre Amplitude schneller als jede Potenz der auslaufenden lichtartigen Koordinate gegen Null konvergiert wenn diese Koordinate gegen unendlich strebt.
Eine spezielle Herangehensweise in dieser Arbeit ist, die Dirac Gleichung direkt in angepassten lichtartigen Koordinaten zu untersuchen. Dies führt unmittelbar zu Methoden, die mit dem charakteristischen Anfangswertproblem oder auch Goursat-Problem der Dirac Gleichung verwandt sind, sowie zu Energieabschätzungen in Gebieten mit lichtartigen Rändern.
Insgesamt gesehen ist die Herangehensweise eine störungstheoretische, nahegelegt durch die asymptotische Flachheit der zugrunde liegenden Raumzeit: Zunächst wird die entsprechende Fragestellung im flachen Minkowskiraum bearbeitet, wo sich die Dirac Gleichung mittels Greenscher Funktionen lösen lässt. Anschließend wird darauf aufbauend die eigentliche Problemstellung mittels Störungstheorie behandelt. Dabei spielen Energieabschätzungen, speziell die Ausnutzung der sogenannten Stromerhaltung der Dirac Gleichung, eine wesentliche Rolle.
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