We consider two diffuse interface models for two-phase flows with and without surfactants. The model without surfactants is a thermodynamically consistent diffuse interface model for two-phase flows with different densities in a bounded domain. For this model we prove existence and uniqueness of strong solutions for a short time in the case of two or three space dimensions. We linearize the system of partial differential equations, split it into a linear and nonlinear part where the nonlinear part is Lipschitz continuous and apply the Banach fixed-point theorem, which yields the existence of a unique strong solution for a short time.
The model with surfactants extends the first model to the case where surfactants are soluble in both phases. We prove existence of weak solutions in a bounded domain for two or three space dimensions. To this end, we use a semi-implicit time discretization and prove existence of weak solutions for the time-discrete problem by applying the Leray-Schauder principle. Then we pass to the limit in two approximation steps using appropriate compactness results and showing that every weak solution of this phase field model satisfies an energy estimate. Moreover, we study the sharp interface limit of this model for the case that the density is constant 1 via the method of formally matched asymptotic expansions. In this way we recover the corresponding sharp interface model.

Wir betrachten zwei diffuse Grenzschichtmodelle für Zweiphasenflüsse mit und ohne Surfactants. Das Modell ohne Surfactants ist ein thermodynamisch konsistentes diffuses Grenzschichtmodell für Zweiphasenflüsse mit verschiedenen Dichten in einem beschränkten Gebiet. Für dieses Modell beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen für kurze Zeiten im Fall von zwei oder drei Raumdimensionen. Wir linearisieren das System partieller Differentialgleichungen, spalten es in einen linearen und nichtlinearen Teil auf, wobei der nichtlineare Teil Lipschitz-stetig ist, und wenden den Banachschen Fixpunktsatz an, welcher die Existenz einer eindeutigen starken Lösung für kurze Zeiten liefert.
Das Modell mit Surfactants erweitert das erste Modell auf den Fall, dass in beiden Phasen Surfactants lösbar sind. Wir beweisen die Existenz von schwachen Lösungen in einem beschränkten Gebiet für zwei oder drei Raumdimensionen. Dazu benutzen wir eine semi-implizite Zeitdiskretisierung und beweisen die Existenz von schwachen Lösungen für das zeitdiskrete Problem, indem wir das Leray-Schauder-Prinzip anwenden. Dann gehen wir in zwei Approximationsschritten zur Grenze über, wobei wir passende Kompaktheitsresultate nutzen und zeigen, dass jede schwache Lösung dieses Phasenfeldmodells eine Energieabschätzung erfüllt. Außerdem betrachten wir den scharfen Grenzschichtlimes dieses Modells für den Fall, dass die Dichte konstant 1 ist, indem wir die Methode der formalen asymptotischen Entwicklung verwenden. Damit erhalten wir das dazugehörige scharfe Grenzschichtmodell.