In the first part of the thesis, we study harmonic functions on the Berkovich projective line (following the book of Baker and Rumely "Potential Theory on the Berkovich Projective Line").
In his thesis Thuillier gives a definition of harmonic functions on the analytification of an arbitrary algebraic curve. We show that his definition is indeed an extension of the one given by Baker and Rumely.
On the other hand, Chamber-Loir and Ducros introduced bigraded real differential forms with differntial operators d' and d'' on the analytification of algebraic varieties.
In the last chapter, we link smooth (0,0)-forms contained in the kernel of d'd'' to the class of Thuillier's harmonic functions. Under certain conditions these definitions agree. For example on the Berkovich projective line. At the end, we show that there are in fact curves on which we can find harmonic functions which are not smooth (0,0)-forms in the sense of Chambert-Loir and Ducros.




Harmonische Funktionen auf der projektiven Berkovich Geraden


Im ersten Teil dieser Arbeit studieren wir harmonische Funktionen auf der projektiven Berkovich Geraden (wobei wir dem Buch "Potential Theory on the Berkovich Projective Line" von Baker und Rumely folgen). Thuillier gibt in seiner Dissertation eine allgemeine Definition von harmonischen Funktionen auf der Analytifizierung von algebraischen Kurven. Wir zeigen, dass seine Definition eine Erweiterung derer von Baker und Rumely ist.

Andererseits führen Chambert-Loir und Ducros reellwertige Differentialformen und zugehörige Differentialoperatoren d' und d'' auf der Analytifizierung von algebraischen Varietäten ein. Im letzten Kapitel stellen wir einen Zusammenhang zwischen glatten Formen vom Grad (0,0), welche im Kern von d'd'' enthalten sind, und Thuillier's harmonischen Funktionen her. Wir sehen, dass unter gewissen Bedingungen diese Klassen von Funktionen übereinstimmen. Dies ist trifft zum Beispiel zu im Falle der projektive Berkovich Gerade. Jedoch zeigen wir auch, dass es Kurven gibt, auf deren Analytifizierung wir harmonische Funktionen finden, welche keine glatten (0,0)-Formen im Sinne von Chambert-Loir und Ducros sind.

Im ersten Teil dieser Arbeit studieren wir harmonische Funktionen auf der projektiven Berkovich Geraden (wobei wir dem Buch "Potential Theory on the Berkovich Projective Line" von Baker und Rumely folgen). Thuillier gibt in seiner Dissertation eine allgemeine Definition von harmonischen Funktionen auf der Analytifizierung von algebraischen Kurven. Wir zeigen, dass seine Definition eine Erweiterung derer von Baker und Rumely ist.

Andererseits führen Chambert-Loir und Ducros reellwertige Differentialformen und zugehörige Differentialoperatoren d' und d'' auf der Analytifizierung von algebraischen Varietäten ein. Im letzten Kapitel stellen wir einen Zusammenhang zwischen glatten Formen vom Grad (0,0), welche im Kern von d'd'' enthalten sind, und Thuillier's harmonischen Funktionen her. Wir sehen, dass unter gewissen Bedingungen diese Klassen von Funktionen übereinstimmen. Dies ist trifft zum Beispiel zu im Falle der projektive Berkovich Gerade. Jedoch zeigen wir auch, dass es Kurven gibt, auf deren Analytifizierung wir harmonische Funktionen finden, welche keine glatten (0,0)-Formen im Sinne von Chambert-Loir und Ducros sind.