In the present thesis, the properties of the entanglement spectra of the ground state of graphene bilayers Bernal-stacked is analytically investigated. In addition, the entanglement spectra of the ground state of the honeycomb lattice in the presence of superconductivity instabilities are analytically studied. We consider not only the eigenvalues of the reduced density matrix that form the entanglement
spectrum, but also, its eigenstates. From these eigenstates,
we construct topological quantities, such as the Berry phase and the Chern number, in order to investigate the topological properties of the entanglement spectrum.
In the first part of this thesis, we present an analytical study of
the graphene bilayers, mainly focusing on the effects of the trigonal warping. When the term causing the trigonal warping is neglected, the entanglement Hamiltonian obtained by tracing out one layer shows a proportionality with the energetic Hamiltonian of the remaining monolayer graphene, in the limit of strongly coupled layers. We demonstrate that this proportionality leads to an agreement of the topological quantities of these Hamiltonians. Moreover, we demonstrate that the entanglement spectrum of graphene bilayers with a trigonal warping spectrum clearly differs in the geometric
shape from the energy spectrum of the remaining monolayer
graphene. However, there is an agreement of the topological quantities such as Berry phase contributions to Chern numbers. In the second part of this thesis, we give a detailed study of graphene in the presence of superconductivity instabilities, mainly considering the s-wave and the chiral dx2−y2 +idxy state.We investigate the relationship between the entanglement and energy spectrum, making use of the concepts of the Chern number constructed from eigenstates of the entanglement Hamiltonian. We demonstrate that the entanglement and remaining subsystem Hamiltonians
can have different topologies. These findings are illustrated by
considering the entanglement Hamiltonian of the ground state of graphene with dx2−y2 + idxy superconductivity obtained by tracing out one spin direction. Our investigations are based on closed analytical expressions for the full eigensystem in the entire Brillouin zone of bilayer graphene with a trigonally warped spectrum and graphene with superconductivity
instabilities.

In der vorliegenden Arbeit werden die Eigenschaften der Verschränkungs-Spektren des Grundzustandes von gestapelten Graphen-Doppelschichten Bernal analytisch untersucht. Darüber hinaus werden die Verwicklungs- Spektren des Grundzustandes des Wabengitters bei Vorhandensein von supraleitenden Instabilitäten analytisch
studiert. Wir betrachten nicht nur die Eigenwerte der reduzierten Dichte-Matrix, die das Verwicklungsspektrum bilden, sondern auch ihre Eigenzustände. Aus diesen Eigenzuständen konstruieren wir topologische Mengen, wie die Beerenphase und die Chern- Nummer, um die topologischen Eigenschaften des Verwicklungsspektrums zu untersuchen.
Im ersten Teil dieser Arbeit präsentieren wir eine analytische Studie der Graphen-Doppelschichten, mit Schwerpunkt auf die Auswirkungen der trigonalen Krümmung. Wenn die Zeitdauer, die die trigonale Krümmung verursacht, vernachlässigt wird, zeigt der Verstrickungs-Hamilton, der durch das Tracing einer Schicht erhalten wurde, eine Proportionalität mit dem energetischen Hamilton-Operator der verbleibenden Einzelschicht-Graphen, begrenzt auf stark gekoppelte Schichten. Wir zeigen, dass diese Proportionalitätzu einer Übereinstimmung der topologischen Größen dieser
Hamiltonians führt. Darüber hinaus zeigen wir, dass sich das Verwicklungs-Spektrum von Graphen-Doppelschichten mit einem trigonalen Krümmungs-Spektrum deutlich in der geometrischen Form aus dem Energiespektrum der verbleibenden Einzelschichtgraphen unterscheidet. Es besteht jedoch eine Übereinstimmung der topologischen Größen, wie der Anteil der Berry-Phase zu den Chern-Nummern.
Der zweite Teil dieser Arbeit besteht aus einer ausführlichen Studie von Graphen in Gegenwart von supraleitenden Instabilitäten, vor allem die S-Welle und der chirale Zustand. Wir untersuchen die Beziehung zwischen der Verwicklung und dem Energiespektrum, wobei die Konzepte der Chern-Zahl aus Eigenzuständen der VerstrickungsHamiltoniane konstruiert ist. Wir zeigen, dass die Verwicklung und das verbleibende Subsystem-Hamilton verschiedene Topologien haben können. Diese Erkenntnisse werden verdeutlicht durch die Berücksichtigung der Verwicklungs-Hamiltoniane des Grundzustands von Graphen mit Supraleitung, die durch Tracing einer Drehrichtung erhalten wird.
Unsere Untersuchungen basieren auf geschlossenen analytischen Äußerungen für das vollständige Eigensystem in der ganzen Brillouin-Zone der Doppelschicht-Graphen mit einem trigonal gekrümmten Spektrum und Graphen mit supraleitenden Instabilitäten.