The theory of causal fermion systems is a new physical theory which aims to describe a fundamental level of physical reality. Its mathematical core is the causal action principle. In this thesis, we develop a formalism which connects the causal action principle to a suitable notion of fields on space-time. We derive field equations from the causal action principle and find that the dynamics induced by the field equations conserve a symplectic form which gives rise to an Hamiltonian time evolution if the causal fermion system admits a notion of 'time'. In this way, we establish the dynamics of causal fermion systems.

Remarkably, the causal action principle implies that there are correction terms to the field equations, which we subsequently derive and study. In particular, we prove that there is a stochastic and a non-linear correction term and investigate how they relate to the Hamiltonian time evolution. Furthermore, we give theorems which generalize the connection between symmetries and conservation laws in Noether's theorems to the theory of causal fermion systems. The appearance of the particular correction terms is reminiscent of dynamical collapse models in quantum theory.

Die Theorie der kausalen Fermionensysteme ist eine kürzlich entwickelte physikalische Theorie, welche die fundamentalen Theorien in der Physik vereinheitlicht und somit einen neuen Vorschlag für die Beschreibung der grundlegenden Strukturen der physikalischen Realität darstellt. Die maßgebliche mathematische Struktur in dieser Theorie bildet das sogenannte kausale Wirkungsprinzip. Gegenstand dieser Arbeit ist es, einen Formalismus zu entwickeln, welcher aufbauend auf diesem abstrakten Prinzip eine Beschreibung liefert, die Parallelen zu den üblichen Theorien in der Physik hat: Die Dynamik von kausalen Fermionensystemen.

Ergebnis dieser Forschungen ist der sogenannte Jet-Formalismus von kausalen Fermionensystemen, welcher als verallgemeinerte physikalische Felder 1-Jets zu Grunde legt. Basierend auf den Euler-Lagrange Gleichungen des kausalen Wirkungsprinzips leiten wir Feldgleichungen ab und studieren deren Lösungen. Es zeigt sich, dass eine symplektische Form konstruiert werden kann, welche unter der von den Feldgleichungen induzierten Dynamik erhalten ist. Dies führt zur Definition einer Hamiltonschen Zeitentwicklung für kausale Fermionensysteme.

Bemerkenswerterweise führt das kausale Wirkungsprinzip zu Korrekturtermen für die Feldgleichungen, die wir im weiteren Verlauf der Arbeit untersuchen. Unsere Theoreme etablieren einen stochastischen und einen nicht-linearen Korrekturterm, sowie deren Beziehung zu markoskopischen Gleichungen und zur eingangs erwähnten symplektischen Form. Das Auftreten dieser speziellen Korrekturterme deutet auf Parallelen zu dynamischen Kollaps-Theorien in der nicht-relativistischen Quantenmechanik hin. Die Arbeit enthält außerdem Theoreme, welche den durch die Noetherschen Theoreme gegebenen Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen auf die Theorie der kausalen Fermionensysteme übertragen.