We consider the evolution of open curves driven by curve diffusion flow. This geometric evolution equation arises in problems of phase separation in material science and is the one-dimensional analogue of the surface diffusion flow. The evolving family of curves has free boundary points, which are supported on a line and it has a fixed contact angle $\alpha \in (0, \pi)$ with that line. Moreover, ...
Abstract (English)
We consider the evolution of open curves driven by curve diffusion flow. This geometric evolution equation arises in problems of phase separation in material science and is the one-dimensional analogue of the surface diffusion flow. The evolving family of curves has free boundary points, which are supported on a line and it has a fixed contact angle with that line. Moreover, it satisfies a no-flux condition.
First, we discuss a result on well-posedness locally in time for curves which can be described by a sufficiently small height function of class , , over a reference curve. In order to proof the result, we reduce the geometric evolution equation to a fourth order quasilinear, parabolic partial differential equation for the height function on a fixed interval. The proof of the well-posedness of this problem is based on a contraction mapping argument: A result on maximal -regularity with temporal weights by Meyries and Schnaubelt enables us to solve the linearized problem with optimal regularity. By establishing multiplication results in time weighted anisotropic -Sobolev spaces of low regularity, we can to show that the non-linearities are contractive for small times.
Furthermore, we show the existence of a suitable reference curve for every admissible initial curve: We smoothen the initial curve by evolving it by a parabolic equation. Afterwards, we establish conditions on the distance of two curves which guarantee that one curve can be used as a reference curve for the other one. By -semigroup and interpolation theory, we confirm that the solution of the aforementioned parabolic equation is in fact a viable reference curve. Combining this with the first result, we obtain that the flow starts for every admissible initial curve of class , .
By exploiting this result, we can give a blow-up criterion in terms of a -bound of the curvature: If a solution of the curve diffusion flow subject to the previously mentioned boundary conditions exists only for a maximal time , then the -norm of the curvature tends to as . For the proof, we assume, contrary to our claim, that the -norm of the curvature remains bounded for a sequence in time approaching . A compactness argument combined with the short time existence result enables us to extend the flow beyond , which contradicts the maximality of the solution.
Translation of the abstract (German)
Wir betrachten offene Kurven, die durch den Kurvendiffusionsfluss evolviert werden. Diese geometrische Evolutionsgleichung tritt bei Phasenseparationsphänomenen in den Materialwissenschaften auf und ist das eindimensionale Analogon des Oberflächendiffusionsflusses. Die Familie evolvierender Kurven hat Randpunkte, die sich frei auf einer Linie bewegen und die Kurven bilden einen festen Winkel ...
Translation of the abstract (German)
Wir betrachten offene Kurven, die durch den Kurvendiffusionsfluss evolviert werden. Diese geometrische Evolutionsgleichung tritt bei Phasenseparationsphänomenen in den Materialwissenschaften auf und ist das eindimensionale Analogon des Oberflächendiffusionsflusses. Die Familie evolvierender Kurven hat Randpunkte, die sich frei auf einer Linie bewegen und die Kurven bilden einen festen Winkel mit der Linie. Außerdem ist die Bogenlängenableitung der skalaren Krümmung der Kurven am Rand null.
Zunächst diskutieren wir lokale Wohlgestelltheit für Kurven, die durch eine genügend kleine Höhenfunktion der Klasse , , über einer Referenzkurve dargestellt werden können. Um das Resultat zu zeigen, reduzieren wir die geometrische Evolutionsgleichung auf eine quasilineare, parabolische partielle Differentialgleichung vierter Ordnung für die Höhenfunktion. Der Beweis dafür basiert auf dem Banachschen Fixpunktsatz: Eine Arbeit von Meyries und Schnaubelt über maximale -Regularität mit Zeitgewichten ermöglicht es, das linearisierte Problem mit optimaler Regularität zu lösen. Danach müssen Multiplikationsresultate in zeitgewichteten anisotropen -Sobolevräumen mit niedriger Regularität hergeleitet werden, um zu beweisen, dass die auftretenden Nichtlineritäten für kleine Zeiten kontrahieren.
Darüber hinaus zeigen wir, dass geeignete Referenzkurven für sämtliche zulässige Anfangskurven existieren: Dazu glätten wir die Anfangskurven, indem wir sie mittels einer parabolischen Gleichung evolvieren. Danach finden wir Bedingungen an den Abstand der Kurven, die garantieren, dass eine Kurve als Referenzkurve der anderen dienen kann. Mit Hilfe von -Halbgruppen und Interpolationstheorie kann bestätigt werden, dass die Kurven, die durch parabolische Regularisierung der Anfangskurve erzeugt wurden, als Referenzkurven genutzt werden können. Durch Kombination dieser Aussage und des Existenzresultats erhalten wir, dass der Fluss für alle zulässigen Anfangskurven der Klasse , , startet.
Unter Verwendung der vorherigen Ergebnisse gelingt es ein Blow-up-Kriterium anhand einer -Schranke der Krümmung zu zeigen: Falls eine Lösung des Kurvendiffusionsflusses mit den zugehörigen Randbedingungen nur für eine maximale Zeit existiert, dann wird die -Norm der Krümmung der Lösung unbeschränkt für . Um das zu beweisen, nimmt man umgekehrt an, dass die -Norm der Krümmung für eine Folge von Zeitpunkten, welche gegen konvergiert, beschränkt bleibt. Ein Kompaktheitsschluss erlaubt die Lösung durch das Kurzzeitexistenzresultat über hinaus fortzusetzen. Dies steht im Widerspruch zur Maximalität der Lösung.
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